发布时间 : 星期四 文章专题30 等比数列(教学案)-2017年高考数学(文)一轮复习精品资料(解析版)更新完毕开始阅读d3663914332b3169a45177232f60ddccda38e6aa
1.理解等比数列的概念．
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4.了解等比数列与指数函数的关系．
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
an＋1an
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N*，q为非零常数)．
anan－12. 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn1； 通项公式的推广：an＝amqnm.
a1（1－qn）a1－anq
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
1－q 1－q3．等比数列及前n项和的性质
(1)如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab.
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an．
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm． (4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn．
－
－
高频考点一 等比数列基本量的运算
例1、(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
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15313317A.B.C.D. 2442
(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________. 答案 (1)B (2)4或－4
a1q·a1q3＝1，??
解析 (1)显然公比q≠1，由题意得?a11－q3
＝7，??1－qa＝4，a＝9???1?1
解得?1或?1(舍去)，
???q＝2，?q＝－3a1
∴S5＝
1－q51－q
4＝
11－5
211－2
31. 4
＝
(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，
3??a1q－a1q＝6，q2则?4两式相除，得＝，
1＋q25?a1q－a1＝15，?
1
即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
2
????a1＝1，
?所以或?1?q＝2，??q＝.
a1＝－16，2
?
故a3＝4或a3＝－4. 学科网
【感悟提升】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
a5
【变式探究】(1)在正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于( )
a75A. 62C. 3
6B. 53D. 2
(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________. 答案 (1)D (2)3n1
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高频考点二 等比数列的判定与证明
例2、设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
??Sn＋1＝4an＋2， ①又? ?Sn＝4an－1＋2n≥2，②?
[来源学§科§网Z§X§X§K]
①－②，得an＋1＝4an－4an－1 (n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1) (n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1 (n≥2)， 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n1， ∴
an＋1an3
＝，＋－
2n12n4
[来源学科网]－
an13
故{n}是首项为，公差为的等差数列． 224an133n－1∴n＝＋(n－1)·＝， 2244故an＝(3n－1)·2n2. 学科网
【感悟提升】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．
【变式探究】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)． (1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．
－
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∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1 ＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②
①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2. ∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2， ∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)． ∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0， ∴
Sn＋2
＝2，
Sn－1＋2
故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 学科网 高频考点三 等比数列的性质及应用
例3、(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________. S1031
(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.
S5321
答案 (1)51 (2)－
2
【感悟提升】(1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q，则有aman＝apaq”，可以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，公比为qk(q≠－1)．
【变式探究】已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a25，a2＝2，则a1等于( )1A. 2C.2
B.2 2
[来源学科网Z,X,X,K]
D．2
(2)等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于( ) A．1
B．2
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