发布时间 : 星期四 文章2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义:第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 - 图文更新完毕开始阅读d371d871eef9aef8941ea76e58fafab069dc44ec
正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
预习课本P2~3,思考并完成以下问题 (1)直角三角形中的边角之间有什么关系? (2)正弦定理的内容是什么?利用它可以解哪两类三角形? (3)解三角形的含义是什么? [新知初探]
1.正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
abc==. sin Asin Bsin C
[点睛] 正弦定理的特点
(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.
(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式. (3)刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,可以实现三角形中边角关系的互化.
2.解三角形
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形( )
(2)在△ABC中,等式bsin A=asin B总能成立( ) (3)在△ABC中,已知a,b,A,则此三角形有唯一解( ) 解析:(1)正确.正弦定理适用于任意三角形.
ab
(2)正确.由正弦定理知=,即bsin A=asin B.
sin Asin B
(3)错误.在△ABC中,已知a,b,A,此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况,具体情况由a,b,A的值来定.
答案:(1)√ (2)√ (3)× 2.在△ABC中,下列式子与b
A.c sin CC.
c
解析:选C 由正弦定理得,sin Asin C所以=. ac
3.在△ABC中,已知A=30°,B=60°,a=10,则b等于( ) A.52 103C.
3
asin B
=sin A
B.103 D.56 10×12
32
=103.
sin A
的值相等的是( ) a
sin BB. sin Ac D. sin C
ac=, sin Asin C
解析:选B 由正弦定理得,b=
π
4.在△ABC中,A=,b=2,以下错误的是( )
6A.若a=1,则c有一解 4
C.若a=,则c无解
5
B.若a=3,则c有两解 D.若a=3,则c有两解
π
解析:选D a=2 sin=1时,c有一解;当a<1时,c无解;当1 6解;a>2时,c有一解.故选D. 已知两角及一边解三角形 [典例] 在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,b,c. [解] A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°, baasin B8×sin 60° 由正弦定理=,得b===46, sin Bsin Asin Asin 45°acasin C8×sin 75°=,得c===sin Asin Csin Asin 45° 8× 2+6 4 =4(3+1). 22 由 已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角. (2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边. [注意] 若已知角不是特殊角时,往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并,即将非特殊角转化为特殊角的和或差,如75°=45°+30°),再根据上述思路求解. [活学活用] 在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=32,则AC=( ) A.43 C.3 B.23 D. 3 2 BCACAC32322 解析:选B 由正弦定理得,=,即=,所以AC=×= sin Asin Bsin 60°sin 45°23 223,故选B. 已知两边及其中一边的对角解三角形 [典例] 在△ABC中,a=3,b=2,B=45°,求A,C,c. 323[解] 由正弦定理及已知条件,有=,得sin A=. sin Asin 45°2∵a>b,∴A>B=45°.∴A=60°或120°. 当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c= 2sin 75°6+2bsin C ==; sin B2sin 45°2sin 15°6-2bsin C ==. sin B2sin 45° 当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c=综上可知:A=60°,C=75°,c= 6+26-2 或A=120°,C=15°,c=. 22 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论. [活学活用] 在△ABC中,c=6,C=60°,a=2,求A,B,b. 解:∵ acasin C2 =,∴sin A==. csin Asin C2 ∴A=45°或A=135°. 又∵c>a,∴C>A.∴A=45°. ∴B=75°,b= 6·sin 75°csin B ==3+1. sin Csin 60° 三角形形状的判断 ππ-A?=bcos?-B?,判断△ABC的形状. [典例] 在△ABC中,acos??2??2?解:[法一 化角为边] ππ -A?=bcos?-B?, ∵acos??2??2?