发布时间 : 星期六 文章[数学]2010-2011学年同步精品学案(人教A版必修5)：第2章 数列 §24 等比数列更新完毕开始阅读d389e370a76e58fafab003da
§2.4 等比数列
对点讲练
一、等比数列通项公式的应用
20
例1 已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
3
分析 可根据条件先求出基本量a1及公比q，再写出通项公式． 解 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
a22201
a2＝3＝，a4＝a3q＝2q，∴＋2q＝.解得q1＝，q2＝3.
qqq3311?n－13－n
当q＝时，a1＝18，∴an＝18×?＝2×3.
?3?3
22
当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
9913－nn－3
综上，当q＝时，an＝2×3；当q＝3时，an＝2×3.
3
总结 等比数列的通项公式an＝a1qn－1中有四个量a1，q，n，an.已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”．
?变式训练1 已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
2
解 由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q代入已知得，
222
????a1＋a1q＋a1q＝7，?a1(1＋q＋q)＝7，?a1(1＋q＋q)＝7， ①???33?? 2?a1·a1q·a1q＝8，?a1q＝8，?a1q＝2， ②???
21
将a1＝代入①得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
q2
a＝4，??a1＝1，?1?1
由②得?或?当a1＝1，q＝2时，an＝2n－1；当a1＝4，q＝时，an＝1
2??q＝2；?q＝2.?
23－n.
二、等比数列性质的应用
例2 已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋?＋log3a10的值． 分析 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，利用这一性质可以化繁为简．
22
解 (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a5＝(a3＋a5)＝25， ∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5. (2)根据等比数列的性质
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9.∴a1a2?a9a10＝(a5a6)5＝95.
∴log3a1＋log3a2＋?＋log3a10＝log3(a1a2?a9a10)＝log395＝5log39＝10. ?变式训练2 设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·?·a30＝215，求a2·a5·a8·?·a29的值．
1515
解 a1·a2·a3·?·a30＝(a1a30)·(a2a29)·?·(a15·a16)＝(a1a30)＝2， ∴a1a30＝2. a2·a5·a8·?·a29＝(a2a29)·(a5a26)·(a8a23)·(a11a20)·(a14a17)
555
＝(a2a29)＝(a1a30)＝2＝32. 三、等比数列的判断与证明
1
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1) (n∈N*)．
3
(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．
111
(1)解 由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，∴a1＝－. 332
111
又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
334
11
(2)证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
33
an1a2111得＝－，又＝－，所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列． an－12a1222
an＋1
总结 利用等比数列的定义＝q (q≠0)是判定一个数列是否是等比数列的基本方
an
法．
2*
?变式训练3 (2009·浙江文，20)设Sn为数列{an}前n项和，Sn＝kn＋n，n∈N，其中k是常数．
(1)求a1及an；
(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．
解 (1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)． a1＝k＋1也满足上式，所以an＝2kn－k＋1，n∈N*.
(2)由am，a2m，a4m成等比数列，得(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)， 将上式化简，得2km(k－1)＝0，因为m∈N*，所以m≠0，故k＝0或k＝1.
课堂小结：
1．等比数列的判断或证明
an＋1
(1)利用定义：＝q (与n无关的常数)．
an
*
(2)利用等比中项：a2n＋1＝anan＋2 (n∈N)．
2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an0，an0＋1，an0＋2，使a2n0＋1≠an0·an0＋2，也可以用反证法．
n－1
3．等比数列{an}的通项公式an＝a1q共涉及an，a1，q，n四个量，已知其中三个量可求得第四个．
课时作业
一、选择题
1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 答案 B
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号． 2．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( ) A．16 B．27 C．36 D．81 答案 B
解析 由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9. ∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
3．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为( )
434A. B. C．2 D．3 343答案 A
1232
解析 ∵a4a6＝a5，∴a4a5a6＝a5＝3，得a5＝3.∵a1a9＝a2a8＝a5，
3
44
∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)＝log3a4＝log3＝. 53
33
4．一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列，其公比为( ) 5431A. B. C. D. 3322答案 A
2
解析 设这个数为x，则(50＋x)＝(20＋x)·(100＋x)，
755
解得x＝25，∴这三个数为45,75,125，公比q为＝.
453
a3＋a5
5．若正项等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则等于( )
a4＋a6
5－15＋11A. B. C. D．不确定
222答案 A
解析 a3＋a6＝2a5，∴a1q2＋a1q5＝2a1q4，∴q3－2q2＋1＝0，∴(q－1)(q2－q－1)＝0 (q≠1)，
5＋11－5a3＋a515－12
∴q－q－1＝0，∴q＝ (q＝<0舍去)，∴＝＝. 22a4＋a6q2
二、填空题
6．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝________. 答案 4
a5422
解析 q＝＝16，∴q＝4，a3＝a1q＝4.
a1
7．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________. 答案 5
n－1n－1??＝48＝16?3q?q??解析 设公比为q，则?2n－4?q2＝4， 2n－4?3q＝192?q＝64??
得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.
8．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．
5－1
答案 2
5＋1
解析 设三边为a，aq，aq2 (q>1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝.
2
5－11
较小锐角记为θ，则sin θ＝2＝. q2
三、解答题
9．等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
?a1＋a1q＋a1q2＝168 ①?
解 由题意可列关系式：? 2
?aq(1－q)(1＋q＋q)＝42 ②?1
168×44211168
②÷①得：q(1－q)＝＝，∴q＝，∴a1＝＝＝96.
168421?1?27
1＋＋??22
15
又∵a6＝a1q＝96×5＝3，∴a5，a7的等比中项为3.
2
10．设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，Cn＝an＋bn， 证明数列{Cn}不是等比数列．
证明 设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠0，q≠0，p≠q，Cn＝an＋bn. 要证{Cn}不是等比数列，只需证C2C3. 2≠C1·
22222
事实上，C22＝(a1p＋b1q)＝a1p＋b1q＋2a1b1pq，
22222
C1C3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝a21p＋b1q＋a1b1(p＋q)，
22
由于C1C3－C2C3，故{Cn}不是等比数列． 2＝a1b1(p－q)≠0.因此C2≠C1·