发布时间 : 星期一 文章2020高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-9离散型随机变量的均值与方差正态分布学案理更新完毕开始阅读d3dc20d22379168884868762caaedd3383c4b580
[典题4] [20xx·山东德州模拟]十八届三中全会提出以管资本为主加强国有资产监管，改革国有资本授权经营体制.20xx年1月20日，中国恒天集团有限公司新能源汽车总部项目签约仪式在天津举行，说明国有企业的市场化改革已经踏上新的破冰之旅．恒天集团和绿地集团利用现有闲置资金可选择投资新能源汽车和投资文化地产，以推进混合所有制改革，使国有资源效益最大化． ①投资新能源汽车： 投资结果 概率 盈利40% 1 2不赔不赚 1 6亏损20% 1 3②投资文化地产： 投资结果 概率 盈利50% 不赔不赚 1 8亏损35% p q (1)当p＝时，求q的值； (2)若恒天集团选择投资新能源汽车，绿地集团选择投资文化地产，如果一年后两集团中至少有一个集团盈利的概率大于，求p的取值范围； (3)恒天集团利用10亿元现有闲置资金进行投资，决定在投资新能源汽车和投资文化地产这两种方案中选择一种，已知q＝，那么恒天集团选择哪种投资方案，才能使得一年后盈利金额的均值较大？给出结果并说明理由． [解] (1)因为投资文化地产后，投资结果只有“盈利50%”“不赔不赚”“亏损35%”三种，且三种投资结果相互独立， 所以p＋＋q＝1. 又p＝， 所以q＝. 9 / 24 【精品资料欢迎惠存】 (2)记事件A为“恒天集团选择投资新能源汽车且盈利”，事件B为“绿地集团选择投资文化地产且盈利”，事件C为“一年后两集团中至少有一个集团盈利”，则C＝A∪B∪AB，且A，B相互独立． 由图表可知，P(A)＝，P(B)＝p， 所以P(C)＝P(A)＋P(B)＋P(AB) ＝×(1－p)＋×p＋×p ＝＋p. 因为P(C)＝＋p＞， 所以p＞. 又p＋＋q＝1，q≥0， 所以p≤. 所以＜p≤. 故p的取值范围为. (3)假设恒天集团选择投资新能源汽车，且记X为恒天集团投资新能源汽车的盈利金额(单位：亿元)，则X的所有可能取值为4,0，－2， 所以随机变量X的分布列为 X P 4 1 20 1 6－2 1 3E(X)＝4×＋0×＋(－2)×＝. 假设恒天集团选择投资文化地产，且记Y为恒天集团投资文化地产的盈利金额(单位：亿元)，则Y的所有可能取值为5,0，－3.5， 所以随机变量Y的分布列为 Y 5 0 －3.5 10 / 24 【精品资料欢迎惠存】 1 21 83 8P E(Y)＝5×＋0×＋(－3.5)×＝. 因为＞，所以E(X)＞E(Y)． 故恒天集团选择投资新能源汽车，才能使得一年后盈利金额的均值较大． [点石成金] 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及均值； (2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 解：(1)设顾客所获的奖励额为X. ①依题意，得P(X＝60)＝＝. 即顾客所获的奖励额为60元的概率为. ②依题意，得X的所有可能取值为20,60. 11 / 24 【精品资料欢迎惠存】 P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝， 故X的分布列为 X P 20 1 260 1 2所以顾客所获的奖励额的均值为 E(X)＝20×＋60×＝40(元)． (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元． 所以，先寻找均值为60元的可能方案． 对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元； 如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析： 对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为 X1 P 20 1 660 2 3100 1 6X1的均值为E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60， X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝. 12 / 24 【精品资料欢迎惠存】