发布时间 : 星期一 文章2020高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-9离散型随机变量的均值与方差正态分布学案理更新完毕开始阅读d3dc20d22379168884868762caaedd3383c4b580
本题以实际生活为背景，并融入排列、组合、古典概型的概率、随机变量的分布列与期望等知识进行探求，有很强的现实意义与时代气息．破解离散型随机变量的期望与茎叶图的交汇题的关键：一是看图说话，即看懂茎叶图，并能适时提取相关的数据；二是会求概率，即利用排列、组合知识，以及古典概型的概率公式求随机变量的概 率；三是活用定义，利用随机变量的数学期望的定义进行计算． 二、离散型随机变量的期望与函数的交汇问题[典例2] 某次假期即将到来，喜爱旅游的小陈准备去厦门游玩，初步打算去鼓浪屿、南普陀寺、白城浴场三个景点，每个景点有可能去的概率都是，且是否游览某个景点互不影响，设ξ表示小陈离 开厦门时游览的景点数． (1)求ξ的分布列、期望及其方差；(2)记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增” 为事件A，求事件A的概率．[思路分析] (1)依题设条件可判断ξ服从二项分布，利用二项分布公式即可求出其分布列、期望及方差；(2)先求出二次函数f(x)的图象的对称轴方程，利用f(x)单调性，可求出ξ的取值范围，即 可求出事件A的概率． [解] (1)依题意，得 ξ的所有可能取值分别为0,1,2,3. 因为ξ～B， 所以P(ξ＝0)＝C×3＝， P(ξ＝1)＝C×1×2＝， P(ξ＝2)＝C×2×1＝， P(ξ＝3)＝C×3＝. 21 / 24 【精品资料欢迎惠存】 所以ξ的分布列为 ξ 0 P8 27 14 9 22 9 31 27 所以ξ的期望为E(ξ)＝3×＝1， ξ的方差为D(ξ)＝3××＝. (2)因为f(x)＝2＋1－ξ2的图象的对称轴方程为x＝ξ， 又函数f(x)＝x2－3ξx＋1在[2，＋∞)上单调递增， 所以ξ≤2，即ξ≤. 所以事件A的概率P(A)＝P?ξ≤3? ＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1) ＝＋＝. 突破攻略本题以旅游为背景，考查了二项分布的分布列及其期望的探求，将二次函数知识融入其中是本题的“闪光”之处，又以函数的单调性“一剑封喉”，使呆板、平淡的数学题充满活力和无穷魅力！求解离散型随机变量的期望与函数交汇题的“两步曲”：一是活用公式，如果能够断定随机变量X服从二项分布B(n，p)，则其期望与方差可直接利用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求得；二是分拆事件，会对随机事件进行分拆，即把事件分拆成若干个互斥事件的和，这样就能正 确进行概率计算． 三、离散型随机变量的期望与频率分布直方图的交汇问题[典例3] 某学院为了调查本校学生“阅读相伴”(“阅读相伴”是指课外阅读超过1个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内“阅读相伴”的天数，并将所得的??4?? 22 / 24 【精品资料欢迎惠存】 数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此 画出样本的频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，求这40名学生中“阅 读相伴”天数超过20的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中“阅 读相伴”天数超过20的人数，求Y的分布列及数学期望E(Y)．[思路分析] (1)观察频率分布直方图，求出“阅读相伴”天数超过20的频率，即可求出其频数；(2)依题设条件可判断Y服从超几何分布，因此可利用超几何分布的概率公式求出Y取各个值时的概 率，列出分布列，最后求出E(Y)的值．[解] (1)由题图可知，“阅读相伴”天数未超过20的频率为 (0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以“阅读相伴”天数超过20的学生人数是40×(1－0.75)＝ 40×0.25＝10. (2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2. 所以P(Y＝0)＝＝， P(Y＝1)＝＝， P(Y＝2)＝＝. 所以Y的分布列为 Y 029 15 23 P 13 5252 所以Y的数学期望E(Y)＝0×＋1×＋2×＝. 突破攻略本题将传统的频率分布直方图背景赋予新生的数学期望，立意新颖、构思巧妙．求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题 23 / 24 【精品资料欢迎惠存】 的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，对于这些实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从超几何分布H(N，M，n)，则随机变量X的概率可利用概率公式P(X＝m)＝(m＝0，1，…，n，)求得，期望可 直接利用公式E(X)＝求得． 24 / 24 【精品资料欢迎惠存】