发布时间 : 星期三 文章2010-2011(1)高等数学试题（B卷）(54)答案更新完毕开始阅读d3df194ba8956bec0975e335
广州大学2010-2011学年第一学期考试卷
高等数学Ⅱ1(54学时，B卷)参考答案
一．填空题 (每小题3分, 本大题满分15分)
1. 已知f(ex?1)?sinx?1，则f(x)?sin[ln(x?1)]?1. 2. lim(n?n???11)=
12.
en?11000x3．limsinx? 0 . 2x??2x?14. 若两曲线y?lnx与y?ax2相切，则a＝
112e.
5. 若x?0时(1?ax2)4?1与xsinx是等价无穷小，则a＝?4.
二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分) 1．若y?f(x)有f?(x0)?12，则当?x?0时，dyx?x0是（ B ）.
(A)与?x等价的无穷小; (B)与?x同阶但不等价的无穷小; (C)比?x高阶的无穷小; (D)比?x低阶的无穷小.
2. 当x?0时,etanx?ex与xn是同阶无穷小，则n＝（C ）. (A) １; (B) ２; (C) 3; (D) 4.
3.limf(x)和limf(x)均存在是limf(x) 存在的( B ).
x?a?x?a?x?a(A)充分非必要条件; (B)必要非充分条件; (C)充分必要条件; (D) 无关条件. 4. 设f(x)在x?a的某个邻域内有定义，则f(x)在x?a处可导的一个充分条件是（ D ）. (A) limh[f(a?h???1h21(B) limh[f(a?)?f(a?)]存在;
h??hh)?f(a)]存在;
(C) lim(2h)[f(a?h)?f(a?h)]存在;
h?0?1(D) limh[f(a)?f(a?h)]存在.
h?0?15. 设?f(x)dx?cosx?C, 则f?(x)?( D ).
(A) sinx; (B) ?sinx; (C) cosx; (D) ?cosx.
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三．解答下列各题(每小题7分，本大题满分21分)
1. 设函数y?y(x)由方程ey?6xy?x2?1?0确定, 求y??(0). 解：当x?0时，y?0， 方程两端对x求导，得
yey??6y?6xy??2x?0 (1)
令x?0，得y?(0)?0 …………(4分) 对方程(1)继续求导，得
e(y?)?ey???6y??6y??6xy???2?0
y2y将x?0代入，得y??(0)??2 …………(7分) 2. 设y?xx，求
dydx.
解：y??(exlnx)? …………(2分)
＝exlnx(xlnx)? …………(4分) ＝exlnx(lnx?1) …………(7分)
3. 求函数y?x2当x由1改变到1.01时的增量和微分 . 解：?y?1.012?12?0.0201 …………(2分)
dy?f?(x)dx?2xdx?2x?x
dy|x?1,?x?0.01?2?1?0.01?0.02 …………(7分)
四．计算下列极限(每小题7分，本大题满分14分)
xe?x?11. lim. xx?0x(e?1)解：原式＝lim ＝lime?x?1xx2x ………………………………(2分)
x?0e?12xex……………………………………(5分）
12x?0 ＝limx?02x＝
1 …………………………………(7分)
2．lim(sinx?e)x.
x?0ln(sinx?e)x解：原式＝limex?0x……………………………………（3分）
xsinx?e?1cosx?ex ＝limex?0x＝limex?01＝e………………（7分）
2
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五．计算下列积分(每小题6分，本大题满分18分) 1. ?(1?tanx)2sec2xdx.
解：原式＝?(1?tanx)2d(1?tanx)……………………………（3分） ＝(1?tanx)3?C……………………………………（6分）
312. ?1x?12tdx.
解：令x?t2，则dx?2tdt，于是 原式＝?t?1dt ……………………………………（3分） 1t?1)dt＝2(t?lnt?1)?C＝2(x?ln ＝2?(1?x?1)?C……（6分）
3. ?x2lnxdx. 解：原式＝?lnxd( ＝
133x33)＝
19133xlnx?3?x33?1xdx…………………（4分）
xlnx?x?C ……………………………（6分）
六．(本题满分12分) 某商品进价为a（元/件），根据以往经验，当销售价为b（元/件）时，销售量为c件（a，b，c均为正常数，且b?43a），市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可
增加40%，现决定一次性降价，试问，当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润。
解：设P表示降价后的销售价，Q表示销售价为P时该商品对应的销售量，由题设，有
b?P0.1b ，……………………………………（3分） ?Q?c0.4c于是，得到需求函数 Q=
4c5(b?P)，……………………（5分） b4从而，按销售价P出售该商品可获得利润
4c5(b?P)b44c对P求导，得L?(P)?bL(P)= (P?a)，………………………………（7分） (54b?a?2P)，
58b?a2令L?(P)?0，的唯一驻点P0?，………………………（10分）
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由问题的实际意义或L??(P0)?0知，P0为L(P)的极大值点，也就是最大值点，故定价为P0?58b?a2（元/件）时可获得最大利润（单位：元）
c16b(5b?4a)。……………………（12分）
2即 maxL?L(P0)?
七．(本题满分5分) 设f(x)?limln(e?x)nnn???nn (x?0)，（1）求f(x);(2)讨论f(x)的连续性．
nn???解：（1）f(x)?lim ＝lim ＝?ln(e?x)nnn
…………………………………(2分)
e?xlnxe?xx?ennn????1x?e?lnx （2）因为 f(e?0)?1，f(e?0)?1，并且f(e)?1，所以f(x)在点x?e处
， …………………………………(3分)
连续，从而f(x)在（0，+?）内连续．…………………………………(5分)
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