发布时间 : 星期六 文章初等数论练习题二（含答案）更新完毕开始阅读d3e3703d852458fb770b56ae
《初等数论》期末练习一
一、单项选择题
1、如果ba，ab，则( ).
A a?b B a??b C a?b D a??b 2、如果3n，5n，则15（ ）n.
A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）.
A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果a?b(modm),c是任意整数,则
A ac?bc(modm) B a?b C ac?bc(modm) D a?b 5、如果( ),则不定方程ax?by?c有解.
A (a,b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 6、整数5874192能被( )整除.
A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果2n，15n，则30（ ）n.
A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 8、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 9、模5的最小非负完全剩余系是( ).
A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 9
二、填空题
1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.
2、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是( ).
3、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为( 4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者( ). 5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的( ).
6、如果a,b是两个正整数,则存在( )整数q,r,使a?bq?r,0?r?b. 7、设p是素数,则不定方程p?x2?y2有（ ）. 8、如果同余式ax?b?0(modm)有解,则解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是13的倍数. 10、如果ab?0,则[a,b](a,b)=( ).
11、如果(a,b)?1,那么(ab,a?b)=( ).
).
三、计算题
1、求[136,221,391]=?
2、求解不定方程9x?21y?144. 3、解同余式12x?15?0(mod45). 4、求??429??,其中563是素数. （8分） 563??5、求[24871,3468]=?
6、求解不定方程6x?17y?18.
). 7、解同余式111x?75(mod3218、求17的平方剩余与平方非剩余.
四、证明题
nn2n3?1、证明对于任意整数n,数?是整数. 3262、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.
3、证明形如4n?1的整数不能写成两个平方数的和. 4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数. 5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.
初等数论期末练习一答案
一、单项选择题
1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 7、A 8、C 9、D 10、C 二、填空题
1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.
2、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是((a,m)b).
a3、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为( [] ).
b4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者( 与p互素 ).
5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).
6、如果a,b是两个正整数,则存在( 唯一 )整数q,r,使a?bq?r,0?r?b. 7、设p是素数,则不定方程p?x2?y2有（ 唯一解 ）. 8、如果同余式ax?b?0(modm)有解,则解的个数( (a,m) ). 9、在176与545之间有( 28 )是13的倍数. 10、如果ab?0,则[a,b](a,b)=( ab ). 11、如果(a,b)?1,那么(ab,a?b)=( 1 ). 三、计算题
1、 求[136,221,391]=?（8分）
解 [136,221,391]
=[[136,221],391]
=[
136?221,391] 17=[1768,391]
=
1768?391
17=104?391
=40664.
2、求解不定方程9x?21y?144.（8分） 解：因为（9，21）=3，3144，所以有解； 化简得3x?7y?48；
考虑3x?7y?1，有x??2,y?1， 所以原方程的特解为x??96,y?48， 因此，所求的解是x??96?7t,y?48?3t,t?Z。
3、解同余式12x?15?0(mod45). （8分）
解 因为(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于4x?5?0(mod15),即4x?5?15y. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的x0?10.
因此同余式的3个解为
x?10(mod45), x?10?45(mod45)?25(mod45), 345x?10?2?(mod45)?40(mod45).
34、求??429??,其中563是素数. （8分） ?563??429??看成Jacobi符号,我们有 563??429?1563?1.22解 把??429????(?1)?563??563????429?4292?18?563??134??2??67?????????????(?1)429429429429?????????67???????(?1)429???27???????(?1)?67?67?1429?1.22?67???429???429??429???????6767????27?167?1.22?67??67???????27??27?
?13?????(?1)?27?27?113?1.22?27??1???????1, ?13??13?即429是563的平方剩余.
5、求[24871,3468]=?（8分）
解：因为（24871,3468）=17 , 所以 [24871,3468]=
24871?3468=5073684
17
6、求解不定方程6x?17y?18.（8分）
解：因为 (6,17)18,所以有解; 考虑6x?17y?1,x?3,y??1; 所以x?54,y??18是特解, 即原方程的解是
x?54?17t,y??18?6t
).（8分） 7、解同余式111x?75(mod321解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解.
将同余式化简为等价的同余方程