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第三章 走向混沌的道路
我们知道，一个动力学系统运动的充分发展是进入混沌状态。进入混沌状态有哪些方式呢？这是非线性动力学研究中的一个重要问题。本章将讨论通向混沌的倍周期分岔道路、阵发性混沌、同步与混沌、湍流道路、保守系统中的不规则运动、电子电路中的混沌以及控制混沌与同步混沌等内容。
第一节 第一节 由倍周期分岔走向混沌
前面已经见到，在平方映射等的数学模型中，在液氦对流实验等的动力学体系中普遍存在着倍周期分岔现象，说明倍周期分岔是许多非线性动力学过程中的常见的现象，也是进入混沌的一种重要方式。本节先以平方映射为例，说明一个由单峰映射描述的动力学系统可以通过倍周期分岔，以费根鲍姆常数的收敛速度从周期运动走向混沌，接着以杜芬方程为例说明一个物理系统也可从倍周期分岔进入混沌的道路。
1. 平方映射的倍周期分岔道路
上一章对平方映射的计算表明，随着参数?的增长，平方映射发生一系列的倍周期分岔。然而倍周期分岔将在一临界点?c=3.5699?时终止，从?c开始的大部分区域，每次迭代得到的值是随机地出现的。图3-1是?值为3.7时的迭代情况。由图可见每次迭代计算得到的xn值既不趋向于零或稳定值，也不是重复，而变为随机地出现了，因此迭代计算可以无止境的延续下去，偶然地某个迭代值会出现在先前得到过的某点附近但并没有准确相同，于是在继续迭代计算中又很快地分离开来了。说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。
实际上上一章对平方映射的计算仅取了少数几个特殊的?值，因此对平方映射通过倍周期分岔进入混沌还没有一个完整的印象，现在利用计算机编写的程序，可以由小到大逐个对?值进行计算。图3-2的上部就是平方映射通过倍周期分岔进入混沌的分岔图。图3-2是从??2.8开始计算的，平方映射的分岔现象实际是在??1处开始的，从这里迭代由零值进入到单周期运动即出现了一次霍夫分岔；随后在?＝3处开始了倍周期分岔，从这里先由单周期分岔为二周期，然后在?＝3.4495处由二周期分岔为四周期，接着在3.5441处从四周期分岔为八周期，如此一直分岔下去，每次分岔运动周期增加一倍，一直到???c为止。当
???c以后，映射迭代的终态值给出的图象是一片模糊已无周期了，说明进入了
随机的混沌状态。这就是平方映射在???c参数区域中进入混沌的倍周期分岔道路。为了将平方映射从规则运动进入混沌与李雅普诺夫指数?的变化联系起来，在图3-2的下部连接了平方映射的?指数随?的变化曲线。
图3-1
?=3.7时
xn?1在不确定值之间跳跃
图3-2 平方映射分岔与李雅普诺夫指数λ值随μ的变化
由图3-2的上部可见，平方映射在???c进入了混沌状态。进入了混沌初看似乎模糊一片，但细看可见在模糊图象的深浅程度上仍然可以区分出不同的区域，说明迭代终值xn?1并不总是混乱一片，而是存在着一定层次；此外，在模糊区域中还可见到有一些大大小小的窗口，犹如两片乌云之间有一小片蓝天，说明这些区域仍存在规则运动。从图3-2下部的李雅普诺夫指数曲线上可见，当系统作规则运动（???c）时指数?始终处于负值，只在各个分岔点处上升到零值附近。而当???c以后，指数?便开始转为正值，但在???c以后的各个窗口中指数?值均又转为负值，因为这里仍是规则运动。由此可见平方映射随参数?值的增加展现的是一幅规则―随机―规则―随机?交织起来的丰富多彩的图象，说明混沌是一种特殊的、包含着无穷层次的运动形态。对于这种无穷层次的运动形式还可以用分形理论作进一步的分析。
下面是一个用Quckbasic语言编写的平方映射随参数?变化的计算程序。
CLS
SCREEN 12
VIEW (0, 0)-(638, 470), 15, 2 WINDOW (0, 0)-(638, 470) x0 = .1 u = 0 m = 0
DIM x(501) d = .001 x(0) = x0 WHILE u <= 4
IF INKEY$ = \n = 1 a = x0
FOR i = 1 TO 130
IF INKEY$ = \x(n) = u * a * (1 - a) a = x(n)
IF n > 100 THEN PSET (d * m * 100 + 20, x(n) * 200 + 40), 0 n = n + 1 NEXT
u = u + d m = m + 1 WEND f: END
2. 费根鲍姆常数
七十年代初自从梅（R.May）发现了平方映射具有异常复杂的特性以后兴起了一股研究热潮。因平方映射计算简单年轻的费根鲍姆(M.Feigenbum)用一台普通计算器计算去计算。他在计算中注意到数学家斯梅尔(S.Smale)曾经指出过的非线性系统在由周期运动变到混沌的转变区域遗留着一些尚未解决的重要问题。他每算一次记录一次计算结果，并找出出现分岔时的各个μ值。在一次次的记数中费根鲍姆发现平方映射每次分岔出现的μ值之间的间隔越来越小，他又将各个前后间隔进行相除，发现平方映射是以恒定的速率接近临界值?c的。
表3-1内列出了几个初始分岔的μ值，图3-3画出了迭代的终态值xn+1随μ值的变化图，图中?1,?2,?为各次2n周期的分岔点，R1,R2,?为与2n周期的超稳定点与x?1/2间的距离。
表2-1 平方映射的分岔值
? <1 1～3 3～3.4495～3.5441～3.5644～>3.5688 ? 3.5644 >3.5699 3.4495 3.5441 xn?1
0 周期1周期2轨道 轨道 周期4 轨道 周期8 轨道 周期16轨道 ? 混沌
图3-3 平方映射2周期分岔曲线
n
设?n为第n次分岔的μ值，则相继两次分岔的间隔之比
lim?n??n?1??k???n?1??n＝4.6692? (3-1-1)
趋于一个常数。再者，仔细分析发现在各次分岔后的超稳定参数Rn（当映射斜
率m?0时的超稳定点）之间也存在同样的关系：
Rn?Rn?1??n??R?Rn?1n lim?被称为费根鲍姆第一常数。进一步，费根鲍姆找到2n周期分岔的超稳定点之间的距离dn（参见图3-3）之比也趋于一个常数：
dn???2.5029dn+1? (3-1-2)
?称为费根鲍姆第二常数。
显然，两个费根鲍姆常数?与?都反映了非线性系统沿倍周期分岔系列通向混沌过程所具有的某种普适特性。进一步的研究又发现，两个费根鲍姆常数虽然是在平方映射的计算中获得的，然而对于所有在[0，1]区间内为一条单峰的光滑曲线的映射都可计算得同样的常数，例如正弦曲线、圆与椭圆曲线等等。不仅如此，在许多包含耗散的非线性系统中，只要发生倍周期分岔序列也会得到同样的普适常数。由此可见，费根鲍姆常数的普遍意义远远超过一维映射。科学发现证明在大自然中存在一些普适常数，例如圆周长度与直径之比的圆周率?，反映某个物理量随时间衰变的自然对数e，反映物质微观量度的普朗克常数h，以及真空中的光速c等，但是普适常数的为数并不太多，它们代表了大自然运动所遵循