发布时间 : 星期日 文章第三章 走向混沌的道路更新完毕开始阅读d49196ef6294dd88d0d26b43
?是驱动电压的初相角。式中u0是驱动电压的振幅，f是驱动电压的频率，g(iL) 是单结晶体管伏安特性的近似表达式。我们取它级数展开的前三项，即：
23uR2?g(iL)?a0?a1iL?a2giL?a3iL (3-6-
3)
式中展开的常数ai(i?0,1,2,3)由单结晶体管的特性和偏置电路决定。
实验中取L＝30mH，C＝0.03?F，R1＝125?，R3＝33.8k?，Ec＝28V。单结晶体管选用BT33D。
f与u0为该电路的两个可变参数，取不同的数值可得该系统不同的运动状态：① 当驱动电压的幅度u0＝0时，电路处于单稳状态；② 当固定驱动电压的幅度，改变驱动信号的频率f使其逐步接近电路的固有频率f0?1/2?LC时，电路出现突变的锁频状态；③ 当固定驱动电压的频率f，将驱动电压的幅度u0由小到大的增加，可以发现在u0的一定的变化范围内出现倍周期分岔与混沌运动，但是在不同的频率f下，出现倍周期分岔与混沌运动的u0值范围不同，倍周期分岔与混沌运动的过程也不一样；④ 而当f远离f0时，随输入信号幅度u0值的逐步升高电路出现倍周期分岔－混沌－反倍周期的过程；⑤ 当u0值进一步升高时，倍周期分岔与混沌现象消失，电路表现出一般非线性电路所共有的畸变波形的特征。
1.2 二极管－电感混沌电路
这是一个广泛研究过的电路，通常它由电阻R，电感L与一只硅二极管D阻成。电路中，取R＝100?，L＝0.25H。硅二极管在反向偏置时作为一个小电容使用，正向偏置时为一直流电压源。电路的方程如下：
?di?Ldt?u?iR?uC??i (二极管导通时) ?CduC????dt (二极管截止时) （3-6-4）?0 ?
式中i是回路中的电流，u是外加驱动电压，uC是二极管上的电压，C为二极管的反向电容。因为对二极管上电压的测量要求用高输入电阻电路，因此测量示波
器通过由场效应管组成源极输出器接入到二极管两端。
实验时，电路图如图3-41所示，在电路上加上正电压，并使外加电压的频率与由电感和二极管反向电容组成的回路的共振频率相接近，即接近共振状态。实验中输入电压由小到大逐步改变，同时用 我示波器检测二极管上的整流波形电压。当输入电压很小时，输出电压为高度相等的整流波形。但是，随着外加电压的增加，二极管上出现一串高度不等的整流波形电压。这时二极管电压经历了倍周期分岔，并最终进入混沌。表3-1列出了实验测得的各项常数与理论值的对比
图 3-41 电感与二极管混沌电路图
表3-1
各项数值 费根鲍姆第一常数 费根鲍姆第二常数 噪声指数 功率谱中平均峰高比 理 论 值 4.66920? 2.50? 6.619 13.2db 实 验 值 4.26?0.1 2.4?0.1 6.3?0.3 11―15db 2. 非线性微分方程混沌特性的模拟电子电路 2.1非线性常微分方程
我们知道，能产生混沌行为的典型非线性常微分方程是由三个独立变量的一阶微分方程，例如熟知的洛伦兹方程或罗斯勒方程。在研究一个动力系统的相图时，我们常将一个二阶微分方程化为两个一阶方程。同样地，我们可以通过数学上的变换，可将三个一阶微分方程化为一个三阶微分方程来。因此一般地，我们可以将产生混沌行为的非线性微分方程写成一个三阶方程：
????a1???a2f(??)?a3x??a4f(x?)?a5x?a6f(x)?a7 xxx （3-6-5）
式中a1,a2,?a7为各项系数，f(x)为一非线性函数，在电路上f(x)常用一些二
极管及线性放大器通过适当的联接来实现。系数a1,a2,?a7可以选取包括0在内的各种正负常数，因此从方程（3-6-5）可以变换出许多形式的非线性方程，但不是所有的方程都具有混沌行为。一个用三阶方程描述的系统有三个李雅普诺夫指数?1,2,3，它是否具有混沌行为要求其中至少有一个是正值。因此为了研究一个系统的混沌行为，就要事先计算出它的三个指数?1,2,3，并找到其中有一个是正值，通常这需要进行工作量很大的计算。表3.2列出了一些能产生混沌的三阶非线性常微分方程及其李雅普诺夫指数。
由于一个系统的李雅普诺夫指数?之和代表了相体积沿轨道的平均变化速率，因此如果三个指数之和小于零，?1??2??3?0，则该系统的相体积在运动
中会逐渐减小，这是耗散系统；如等于零，?1??2??3?0，相体积不变，此为保守系统。如上所述，在混沌的耗散系统中应存在奇怪吸引子，而在保守系统则将出现随机海。此外，如果我们研究的是相空间的连续流体，与流体方向相应的指数?应为零。对于耗散系统，当系统是混沌的，其中最大一个李雅普诺夫指数
?1必须为正，由于?2为零，?3就必须为负。
表3.2 产生混沌的三阶非线性常微分方程及其李雅普诺夫指数
微分方程 初始条件 ?????20017???x?7?x xx?????2.8x??x?x2 x?????0.44???2x??(x2?1) xx?????0.5???x??x?x2 xx?????2x??(x?1) x?,??) x(x,x(0, 0, ±1) (?0.5, 0, ±1) (0, 0, 0) (0, ±1,0) ±(?1, ?1, 1) (0, 0, 0) (0, 0, 0) (0, 0, 0) ±(0, ?0.5, 0.5) ±(0, 0.5, ?0.5) (0, 1, 0) (0, 1, 0) (0, 1, 0) (0, 1, 0) (0, 1, 0) (0, 1, 0) (0, 1, 0) (0, ±0.5, 0) (0, 1, 0) (0, 1, 0) (0, 1, 0) (0, 1, 0) 李雅普诺夫指数 （以e为底） 0.055, 0, ?2.072 0.002, 0, ?0.002 0.105, 0, ?0.545 0.094, 0, ?0.594 0.003, 0, ?0.003 0.036, 0, ?0.636 0.042, 0, ?0.342 0.042, 0, ?0.342 0.003, 0, ?0.003 0.003, 0, ?0.003 0.152, 0, ?0.652 0.601, 0, ?1.101 0.085, 0, ?0.785 0.072, 0, ?0.472 0.091, 0, ?0.491 0.128, 0, ?0.318 0.067, 0, ?0.257 0.002, 0, ?0.002 0.034, 0, ?0.634 0.138, 0, ?0.838 0.082, 0, ?0.432 0.123, 0, ?0.323 ?????0.6???x??(x?1) xx?????0.3???0.3x??D(x)?1 xx?????0.3???0.3x??R(x)?1 xx?????2.9x??(0.7x?D(x)?1) x?????2.9x??(0.7x?R(x)?1) x?????0.5???x??x?sgn(x) xx?????0.5???x??x?sgn(x) xx?????0.7???x??x?H(x) xx?????0.4???x??x?2S(x) xx?????0.4???x??x?2S(x) xx?????0.19???x??x?2tanh(x) xx?????0.19???x??x?2tanh(xxx) ?????3.7x??(x?x3) x?????0.6???2.8x??x3?x xx?????0.7???x??x?x3 xx?????0.35???x??x?x3 xx?????0.2???x??sin(x) xx
在用电子电路来模拟非线性微分方程时，需要解决一个如何实现微分运算的问题。这个任务通常采用由运算放大器组成的有源积分电路来完成。一个常见的有源积分电路，其输入电压ui与输出电压uo之间存在关系：
u0??1uidt?RC
因为：
duo1??dui?dtRC
因此，输入电压比例于输出电压的一阶导数：
ui??RCduodt
关于式（3-6-5）中的非线性函数f(x)，在电路上可以用二极管电路或二极管–运放电路来实现。图2-42中列出了几种用二极管与运算放大器电路以及所具有的非线性函数特性：图2-42a是输入变量x的绝对值f(x)?x；图2-45b与c是利用二极管的正反向导电特性，因此f(x)分别等于D(x)和R(x)；图2-45d是利用开环运算放大器放大倍数为极大值（10以上）的特性，因此运算放大器总是处在正的或负的饱和状态，当输入电压从负过零变正时，输出电压从正饱和状态跃变为负饱和状态，f(x)??sgn(x)，这里sgn(x)表示是变量x的跃变函数；图2-42e是用一反向二极管对运算放大器作反馈，当输入电压为负时，输出电压为零，当从输入电压为正时，输出电压跃变为饱和状态，这时f(x)??H(x)。
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图3-42 几种用二极管与线性放大器实现的非线性函数电路
2.2 几个电子混沌电路
下面介绍几个展示非线性常微分方程混沌特性的电子电路。
⑴f(x)=x的混沌电路
这种情况的微分方程可以如下构成：
?????A???x??(x?1) （3-6-6） xx式中只有一个控制参数A。为了得到合适的参数A的取值范围，我们可以计算方
程（3-6-6）解x(t)对参数A的分岔图。取方程右边的正负号为负号，初始条件