发布时间 : 星期六 文章第三章 走向混沌的道路更新完毕开始阅读d49196ef6294dd88d0d26b43
也发生变化。
当电路的VT点接入正弦电信号ua模拟桌面上下振动时，须将ua接入双踪示波器Y1，u2仍接入Y2。实验发现，当桌面振动振动频率?与小球弹跳频率?相近，调节幅度ua或频率?可得单周期、倍周期、四倍周期??等的振动，然后进入不稳定区，直至混沌状态。图3-53给出了几个典型的弹跳运动示波图，其中最上面的为单周期运动，中间的为双周期运动，下图示出的为混沌运动。
a. 弹跳波形图 b 相图
图3-53 弹球在振动桌面上的弹跳运动
第七节 控制混沌与同步混沌
控制混沌与同步混沌是近年在混沌运动研究中取得的重大进展。混沌控制是使一个系统从处于随机状态的走向规则运动，从而使混沌从理论研究发展到了具有重大经济价值的应用研究。例如，如果一台激光器处于混沌工作状态，则激光器的各项输出性能（输出功率、单色性、相干性等）不会很高，但是如果混沌状态可以得到控制，激光的各项性能指标将会得到大幅度的提高，激光的应用价值将随之大幅度增加。再如，在混沌状态中蕴藏着巨大的信息量，如果在产生混沌的动力学系统间能得到同步，就可以开发用来作最高保密通信，这一资源得到开发与利用，由此带来的效益将是不可估量的。本节将就这两方面作些简单的介绍。
1． 1． 控制混沌
控制混沌所要达到的目的，就是把非线性动力学系统的混沌动力学行为转化为事先确定的平衡态、周期运动或条件周期运动。最早提出的控制方案是1989年由Munich 工业大学的Hubler和Luscher提出的输送控制，也称迁移控制，并由Illinois大学Urbana分校的Jackson 所完善
输送控制的基本思想是给定一个周期函数为控制目标，根据这个目标构造出
一个外激励并施加于被控制的系统。通过施加控制，把系统输送到给定一个周期性轨道，或者在不同的周期性轨道间迁移。能够实施输送控制的系统要求原系统存在着收敛域，即系统必须是耗散的，具有吸收性，使得附近的轨道沿着某个特征方向收敛于该区域。输送控制的机理是非线性共振，在适当的外界条件下，施加周期的外激励可得到同周期的系统响应。
另一个研究和应用较多的方法是OGY方法。该方法由奥托(Ott)、格里包革(Grebogi)和约克(Yorke)三人于1990年提出。OGY方法基本出发点是混沌吸引子的几何结构和混沌动力学对初值具有高度的敏感性，通过适当的调整动力学的可控参数，将不稳定的轨道稳定下来。
从前面的讨论知道，在混沌吸引区存在无穷多个不稳定的周期轨道，在庞加莱截面上，这些轨道是一些不动点。由于周期轨道是不稳定的，所以实际的相轨迹线只有少数几次回到庞加莱截面上的这些不稳定不动点附近。在具体实施混沌控制时，可以选定其中任一轨道为控制目标，然后调整系统的某个可控参数，根据混沌对初值的敏感性，系统可对所施加的任意小扰动将作出迅速的响应，使得系统达到并保持在这个目标的周期轨道上，从而实现了控制。下面以单摆为例介绍OGY控制混沌的基本做法。
前面已经讲过，则受驱单摆方程由式(3-3-11)表示：
d2?1d???sin??Fcos?tdt2qdt
式中θ是单摆的角位移，F是驱动力的幅度，?是驱动力的频率，q为单摆的品质因子。q，F或?是驱动单摆系统的控制参数，我们已在第一章就固定q，?两
个参数，改变参数F研究了单摆的混沌运动。
为了实现控制，需要用到庞加莱截面(?,?)。在庞加莱截面(?,?)上，两个相继穿越截面的点之间有关系为：
??n?1???n?????M(?,?)????????n?1??n? (3-7-1)
式中M(?,?)是某个作用在每个点上的矢量的变换矩阵。我们需要利用庞加莱截
面来确定相平面上的给定点的变换矩阵M(?,?)。
?如以阻尼参数q为可控参数，通过计算可以作出以q变量的单摆分叉图?,q，并在这分叉图的混沌区中找出某个不动点作为控制目标。设每个驱动周期开始时给阻尼参数q一个微小改变?q。确当的选择?q值，将使系统的轨线逐步地返回到周期的轨道，大体步骤如下： (1) 确定不动点??n,?n?的坐标
为了确定不动点，首先作出庞加莱截面，取参数F?1.5,q?3.9,??2/3，并运行了10000个周期，得单摆庞加莱截面如图3-54。然后在庞加莱截面上，寻找出一对两个相继的交点??n,?n?和??n?1,??1n?，并计算两点之间的距离，并与事先
??设定的某个小量?作比较。如果该距离小于?，说明附近有不动点??F,?F?存在。一般来说在计算过程中系统会多次回到不动点的邻近，即会出现多个不同的距离，通过对这些值的平均，就可估算出不动点的位置。例如，我们可以求得在坐标（1.523,–0.415）处的不动点。
图 3-54 单摆庞加莱截面，所用参数F?1.5,q?3.9,??2/3
(2) 确定参数q微小变动对不动点??n,?n?的影响
现在需要确定参数q作微小变动时对不动点??n,?n?产生的影响。设阻尼参数 q有一微小改变?q，则产生一个新的不动点??'F,?'F?，新的不动点坐标可近似为：
??'F???F????F?q?????????q??'????????q???F??F??F? (3-7-2)
由此可见，我们需要确定矢量[??F?q,??F?q]的大小。一个简单的做法计算
q作微小改变时不动点的变化，并作出?F~q与?F~q关系曲线。它们可近似为直线，通过对数据的拟合，在本题所用的参数下可得如下结果：，
[??F?q,??F?q]?[?0.41,?0.29]
(3) 确定变换矩阵M
在一般情况下，变换矩阵M是由??n,?n?到??n?1,??1n?的复杂的非线性映射。然而在相平面的小区域内可以近似为线性映射。在不动点的附近，这个映射可以写成：
??n?1???n???n??F????????M????????????F? (3-7-3) ?n?1??n??nM是2?2矩阵。则方程(3-7-1)可以写为：
???n?1????n????????M???????n?1??n? (3-7-4)
式中
???n???n??F???????????????n?F? ??n???n?1???n?1??F???????????????F? ?n?1??n?1我们知道，在庞加莱面上有一些从不动点??F,?F?发出的特殊的曲线：稳定流形与不稳定流形。在不动点附近，沿着的稳定流形或不稳定流形指向的矢量在
M变换中将保持其方向，因此它们是M的本征矢。本征值问题的解产生本征值?u,?s，以及与此相关的本征矢es，eu。我们采用不动点附近的一对线性独立矢量在一个周期中的演化，寻找到矩阵M的矩阵元是：
??3.42?5.79?M????1.52?2.48????
相应的本征值与本征矢（归一化）为：
?u??5.85，eu?(eu1,eu2)?(0.92,0.40)
?s??0.050，es?(es1,es2)?(0.86,?0.52)
在计算中，还要计算出与es，eu相垂直的矢量fs，fu：
fs?(fs1,fs2)?(0.49,?1.12) fu?(fu1,fu2)?(0.63,1.04)
这样变换矩阵M可以写为：
?eui?M??u??e???u2?(fu1,fu2)?es1???s??e???s2?(fs1,fs2) (3-7-5)
(4) 控制算法
控制机理的目标是强迫单摆轨线趋于庞加莱截面上的不动点。通过调整阻尼参数 q，把轨线与庞加莱截面的交点引入不动点附近的稳定流形，然后沿着稳定流形的自然吸引将把交点推向不动点。
如图3-55所示，不动点??F,?F?位于稳定流形与不稳定流形的交点上。如果阻尼参数 q的改变量为?q，则不动点移动到新的位置??'F,?'F?，
???'n?1???'F???F???n??'F??????????'????'??????M?????'??n?1?F? ?F??F???n(3-7-6)
代入M后有：