发布时间 : 星期六 文章第三章 走向混沌的道路更新完毕开始阅读d49196ef6294dd88d0d26b43
???'n?1????F?q??????q???q???'????n?1??F????eu1?(fu1,fu2)???u??e???u2????es1??????n????F?q????s?????q???q??e?????????????? ?s2?????n??F (3-7-7)
图 3-55 不动点附近的（(?,?)平面
为了得到控制，我们希望点??'n?1,?'n?1?向着稳定流形运动，因而???'n?1,??'n?1?必需与稳定流形一致运动，这意味着???'n?1,??'n?1?与fu的点积等于零，这样就可以解出控制的条件：
??'n?1????0??'n?1?? (3-7-8)
?fu1,fu2????合并
??n????n??u???q???u?1????q??fu1,fu2??????q???? (3-7-
?fu1,fu2????9)
这个表达式给出了实现控制所需的q的改变量，它可使下一个与庞加莱截面
的下一个交点更靠拢不动点??F,?F?的稳定流形。
2. 同步混沌与保密通信 2.1 同步混沌原理
1990年美国学者佩考拉（Pecora L.M.）和喀罗尔（Carrol T.L.）首先发展了一种混沌同步方案，并用电子电路实现了两个系统间的混沌同步。
佩考拉和喀罗尔的同步混沌实验的基本思想是：先设计一个能产生混沌的非
线性系统作为驱动系统，该系统的特点是可以分成一个稳定的与一个不稳定的子系统，然后再复制一个与上述与稳定的子系统相同的系统用作响应系统，即被驱动电路，或称响应电路。所以佩考拉—喀罗尔同步混沌方案也称为驱动─响应同步。驱动─响应同步的特点是系统要能分成两个子系统，在使用上有一定的局限。针对不同的非线性系统，又发展了其它类型的同步混沌方案，例如：相互耦合系统的混沌同步、连续变量反馈同步以及外部噪声法混沌同步等。由于同步混沌在保密通信的应用方面具有诱人的应用前景，因此受到了广泛的重视。这里仅以驱动─响应同步为例，对同步混沌作些介绍。
我们先从理论上来讨论驱动─响应同步的原理。我们知道，一个混沌系统可以用一微分方程组表述，例如：
?dx?dt?u(x,y,z)??dy??v(x,y,z)?dt?dz?dt?w(x,y,z)? (3-7-10)
在数学上，我们可以将系统(3-7-10)分成若干个子系统，每个子系统由该方程
的局部方程构成，例如由变量x，y；y，z；?等的方程构成的相应的子系统，用变数y',z'表示，方程(3-7-10)的(y，z)子系统为：
?dy'?v(x,y',z')??dt??dz'?w(x,y',z')??dt (3-7-11)
此外，我们知道一个动力学系统有稳定与不稳定之分。一个混沌系统是不稳定的
系统，但是其子系统并不都是不稳定的，其中有的可能是稳定的。我们已经讲过，一个系统的稳定性常用李雅普诺夫指数?来衡量。如果系统是稳定是稳定的其指数?必为负值，如果其中有一个为正值，就可出现混沌运动。以洛伦兹方程为例，将方程(2-3-1)中的时间参数?该为t，则洛伦兹方程可以写为：
?dx?dt???(x?y)??dy??rx?y?xz?dt?dz??bz?xy?dt? (3-7-12)
如果取参数??16，b?4，r?45.92，则系统处于混沌状态，这时洛伦兹系统
是一个不稳定系统。方程(3-7-12)可以分为关于变量x，y；y，z；x，z等三个子系统。子系统(y，z)方程为：
?dy'?dt?rx?y'?xz'?dz'???bz'?xy'?dt (3-7-13)
它的两个李雅普诺夫指数?1??2??2.5，所以是稳定系统。当t??时，有
y'?y?0，z'?z?0。子系统(x，z)的方程为：
?dx'?dt???(y?x')?dz'???bz'?xy'?dt (3-7-14)
它的两个?指数?1??3.95，?2??16.0，所以也是稳定系统。当t??时，有
x'?x?0，z'?z?0。但子系统(x，y)
?dx'?dt???(y?x')?dy'??rx?y'?x'z?dt (3-7-15)
?3的两个?指数中有一个是负的?1??17.0，但另一个是正的?2?7.89?10，所以
是不稳定子系统。
现在回到同步原理上来。我们可以选择某个稳定的子系统为响应系统，但更一般地可以由两个子系统级联成为一个响应系统。因此，除(y，z)子系统方程(3-7-11)外，我们再选择一个(x,z)的子系统，它以变量x\、z\表示。这样总的级联响应系统可以写为：
?dy'?v(x,y',z')??dt??dx\?v(x\,y',z\)??dtdz'?w(x,y',z')dtdz\?w(x\,y',z\)dt (3
-7-16)
在这样的级联响应系统中，x\信号收敛于信号x，它是原始驱动信号。如果
响应系统被任意的另外的信号所驱动，x\信号将不能收敛于驱动信号。因此响应电路能用于确定一个信号是否被系统(3-7-10)产生的混沌信号或者是某个另外信号所同步。如果系统(3-7-10)通过改变某个参数产生某种微小变化，则同步也将损失。
根据上述原理，现在已有不少用电子电路实现了同步混沌。例如，利用一个模拟变形的罗斯勒方程组[原来罗斯勒的方程式为方程(2-3-25)]的电子电路实现同步混沌。变形的罗斯勒方程组如下：
?dx?dt???(?x??y??z)??dy????(?x?ay?0.02y)?dt?dz??[?f(x)?z]??dt (3-7-17)
式中f(x)是一个与蔡氏电路类似的分段线性函数：
?0f(x)????(x?3)x?3x?3
4?1它体现了该系统的非线性特性。方程(3-7-17)中的诸参数如下：??10s，??0.05，??0.5，??1.0，a?0.133，??15。实现该方程的混沌电路如图
3-56a所示，图中的运放A4、相关的三个电阻以及一个二极管用以模拟分段线性函数f(x)。二极管起开关作用，当x超过3伏电压时，运放A4发生翻转。当运放A1输入端的转换开关置于固定电阻（75k?）位置时，用示波器观察x~y信号，可得到电路的奇怪吸引子，如图3-56a所示。当转换开关置于200k?电位器档时，通过改变电位则可观察到电路从周期振荡到混沌振荡等状态。