发布时间 : 星期日 文章第三章 走向混沌的道路更新完毕开始阅读d49196ef6294dd88d0d26b43
图3-9
f3(?,x)?≤?c附近的迭代
为了理解阵发性混沌的产生，需要对图3-8作进一步考察。如果将参数?略
3为减小一些，可以看到，在图3-8的下图中f(x)曲线与对角迭代线的原三个切
点附近，形成一条狭窄的“走廊”。当在此对映射f(x)进行迭代时，就成为在走廊中的行走，如图3-9所示。可以看到，当某一轨道点落入某一走廊的入口处时，按迭代作图的方式，在经过若干次迭代以后走到了走廊出口处，并从这里离开走廊，迭代的次数的多少决定于“走廊”的狭窄程度，也即?与切分岔起点?t之间的距离决定。可见在走廊中的迭代很象是在不动点附近的迭代，因此它相应于周期的运动。在走出了走廊以后，迭代将是无规则的大幅度跳跃，当其随机地再进入到这个或那个走廊入口附近时，又将重复出现以上在走廊中的迭代过程。当然这种重复是不可能准确相同的，所以每次在走廊中的迭代次数也不会相同。显然，当???t?0时，迭代穿越时间趋向于无穷长，即达到完全周期的状态。这就是对从有序(周期)到无序的阵发混沌道路的解释。也是数学家李天岩与约克曾通过严格的数学分析所证明的，在任何一维系统中，只要出现规则的周期3，必然会给出任意长的规则周期运动和完全混沌的循环。
3实际上，在切点处f(x)曲线可以近似用下式来表示：
2xn?1???xn?axn (3-2-1)
3式中，??0为一小参量，它比例于参量?到切分岔起点?t之间的距离：
?????t
这里可对穿过走廊所需的迭代次数n作个估算。当?很小时，迭代次数n将会很
多，这时可取：
xn?1?xn??xdx??ndn
利用式(3-2-1)得：
dx?dn2??axn (3-2-2)
经过积分可得：
n?1?xo?xiarctan?a???/a??? (3-2-3)
式中，xi与xo为走廊进口与入口处的坐标（如图3-9）。由于每次出入走廊的坐标不会相同，上式还应对（xi-xo）做一次平均。然而，当?很小时，
tan?1[(xo?xi)/?/a]??/2，我们可以直接将式(3-2-3)看作平均近似式，于是有：
n???1/2
可见平均迭代次数n反比于?到切分岔点?t距离的方根。当??0时，n按
??1/2指数发散，与前面的分析结果相同。需要说明的是，在上述讨论中并没有涉
及到周期3的具体性质，也就是说，只要是切分岔为起点窗口附近的分析，都可以采用这种分析方法。
值得注意的是导致出现阵发性混沌的原因也有多种，人们常称上面分析的阵发性为玻木–曼维尔型阵发性混沌，它发生在周期吸引子稳定性丧失的附近。另一种典型的阵发性混沌是由于混沌吸引子与不稳定轨道产生冲突（collision）引起的，常称为危机型阵发性混沌。
一个具体的例子还是前面所说的平方映射中的周期3窗口。我们需要注意到周期3窗口的出现是由于平方映射的参数??3.83附近的切分岔，每次切分岔产生的是两条轨道，一条是稳定的还有一条是不稳定的，在图3-7上在参数??3.83~3.86范围内只画出了稳定轨道的行为。该图实际上应画成图3-10所示，图中的虚线就是切分岔产生的三条不稳定轨道随参数?值的变化情况。由图可见，由实线所示的三条稳定轨道随参数?经几次倍周分岔后进入混沌，在参数???*附近，三条不稳定轨道各与两条混沌轨道相遇而发生冲突。图3-10b用图示的方式表示阵发性混沌的产生。如图所示，平方映射与恒等线的上交点是一个不稳定的不动点，以其影像点为一角的虚线方框为混沌吸引子的吸引域。混沌吸引子可长时间运行于该吸引域内。阵发性吸引子由两个甚至更多个亚稳吸引子组成，由于不稳定轨道与混沌吸引子的冲突，混沌吸引子可越出吸引域而形成阵发性混沌。
a b
图3-10 (a)周期3窗口中稳定与不稳定轨道, (b)混沌轨道与不稳定轨道的冲突
第三节 同步、锁模与混沌
1. 同步与锁模
同步（Syncronazation）与锁模（Mode-locking）是指两个或数个振子间的同步振动现象。早在17世纪，荷兰物理学家惠更斯利用摆的等时性发明挂钟的时候就发现，两个悬挂在木板墙上的挂钟当靠得较近时会发生同步摆动现象。后来瑞利也发现当两根风琴管在靠得较近时发出的音调趋于一致，离得较远时则发生差拍现象。这就是物理史上较早观察到的同步或锁模现象。
对于一个性线性振子来说，在其振动方程：
Asin(?t+?) (3-3-1)
中的三个特征量，即振幅A、频率ω与相位φ，只有频率是固有的，而振幅与相位决定于初始条件。与此不同，对于一个非线性振子，如前面研究过的范德玻耳振子，其振幅、频率与相位是与非线性系统紧密相关的。系统最终所达到的稳定振动状态与初始条件无关。因此，如果使两个非线性振子间发生耦合，就会出现一个振子的状态依赖于另一个振子的振幅。或者一个振子的振动频率锁定在另一个振子的振动频率上，或者两个振子同步地以一个共同的频率振动。所以同步与锁模是非线性振动系统的固有特性。
设?1与?2分别为两个振子的固有频率，如改变某个参数，当一个振子的P倍振动频率P?1与另一个振子的Q倍振动频率Q?2接近时，虽然P与Q互为质数，但是如果两个振子之间存在某种耦合，例如在摆线之间用一个弱弹簧连接起来的两个靠近的单摆，则两个系统的频率之比?1/?2?P/Q可能进入有理数状态，这种在一定的频率范围内一个振动系统与另一个振动系统间出现同步的现象称为锁模，也称锁相(Phase-locking)或锁频(Frequency-locking)，三个名字都指两个振子的同步振动现象，但在含义上略有区别。显然锁模的范围与两个振子间的耦合强度有关，在耦合的很弱情况下锁模范围很小，对大多数振动频率运动是非锁模的，两个振子基本上在独立振动，它们处于准周期（Qusipriodicity，或称拟周期）运动状态。随着耦合的增强锁模范围增大，两振子的振动密切相关，当耦合达到某个阈值之后系统可能进入混沌状态。这是与倍周期分岔或阵发性混沌不同的的进入混沌的道路，称为准周期道路。本节首先通过一个简单的振动水桶的滴水实验来建立一个所谓标准圆映射，然后利用该映射描述通过同步锁模进入混沌的道路。
图3-11 水桶滴水实验
标准圆映射可以利用多种受驱振子模型导出。为容易理解，这里采用振动水桶的滴水实验来推导标准圆映射。实验设备非常简单，一只水桶通过一根弹簧悬挂到天花板上，桶底有一小孔向下滴水，如图3-11所示。为保证在滴水过程中不受水位的影响，实验中要采取措施不断补充进水，以保证水桶中的总水量保持恒定不变。
在重力与表面张力的共同作用下，在桶底的小孔处形成与时间成正比的增大水滴，当水滴的质量达到表面张力不能再支持的某个临界值时m?，水滴便脱离桶底滴落下来。水滴落下以后，在桶底小孔处又将形成新的水滴，它从零质量开始并随时间线性增长直至脱落。因此如果水桶不是用弹簧而是用一根绳子悬挂起来，落下的每个水滴的质量一般应是相等的。两水滴之间的滴落时间间隔为一个水滴的形成时间?，即：
τ＝m?/C
如图3-12a所示。然而，如果水桶是通过弹簧悬挂起来的，当水滴从水桶底下脱落时，对水桶有一反冲从而引起水桶上下振动。因此小孔滴水与水桶的振动是两个相互耦合的振动系统。水桶的振动周期T则由水桶的质量与弹簧的劲度决定的。振动的水桶反过来又会影响水滴的形成，相当于在水滴的重量上附加了一个周期性的惯性力，于是水滴的质量要改写为：
meq?m*[1?f(t/T)] (3-3-2)