发布时间 : 星期五 文章第三章 走向混沌的道路更新完毕开始阅读d49196ef6294dd88d0d26b43
2动频率小于系统自振频率时，??1，方程(1-4-12)的解有可能有三个值，其中
两个是稳定的，一个是不稳定的，如图1-24所示。由于混沌总是与方程解的失稳联系相联系的，因此可以认定受驱单摆的混沌应该出现在驱动频率小于单摆自振频率的区域。
图3-21 受驱单摆的角速度对驱动力矩的分岔图
从前面关于混沌道路的讨论中知道，分析一个非线性动力学系统运动状态的一个重要方法是绘制出它的分岔图。对于分析受驱单摆的混沌道路也是一样，我们可以从绘制它的分岔图出发。受驱单摆的分岔图可以可利用四阶龙格–库塔法对方程(3-3-11)编制Q-Basic程序来取得。给定小于单摆自振频率的某个驱动频率?，再给定单摆的品质因子q，以驱动力矩幅度F为控制参数，则可得单摆的角速度对F的分岔图。取??2/3，1/q?1/2，F?0.96~1.52，并对数个初始
?角速度?0进行计算得分岔图如图3-21所示。
4.2 不同驱动力矩下的运动状态
根据图3-21所示的??2/3，1/q?1/2条件下的受驱单摆分岔图，大致可按F?0~1.25和F?1.25~1.52将单摆的运动状态分成两个区域，并对它们分别加以讨论。
⑴ F = 0 ~1.25间的运动状态
从第一章初识单摆运动的复杂性中知道，小摆角受驱阻尼单摆存在一个椭圆闭合轨道的周期吸引子，单摆锁定在驱动频率上。在驱动频率?及阻尼力(1/q)大小为定值时，闭合轨道的半径由驱动力矩F决定，随着驱动力矩的增加半径逐渐增大；在??2/3，1/q?1/2的条件下，当驱动力矩F趋近于约0.99时，受驱单摆相轨线类似于无阻尼单摆相图（图1-6）上由??到?的异宿线所圈定内的图形。
然而由图3-21可见，当F?0.99时单摆的角速度分岔成上下两支，系统的运动状态似乎从这里开始出现倍周期分岔。然而绘画出的相图来看，单摆在F?0.99?1.0487间的运动仍是单周期运动，只是相轨线左右是不对称的。从
F?0.99开始角速度分岔成上下两支说明单摆运动发生了对称性破缺。由于对称
性破缺，单摆的振动相对于零摆角??0是不对称的。单摆到底进入那一个运动状态由初始角速度决定。由图3-22可以看出，在F?1.05时虽然初始角度相同，但初始角速度不同，得到的是左右对称性不同的两条的相轨线。
图3-22 受驱阻尼单摆在F?1.05时的两条的相轨线
由于对称性破缺，当产生与????，d?dt??d?dt，?????相关的变换时产生了新吸引子对。这些新产生的吸引子对其平均角速度一般不为零，这时角速度d?/dt??(mn)?，这里m，n为非零的整数。当m?1，n?1，新吸引子对的平均角速度为零d?/dt???。
然而随着驱动力矩的逐渐增加，单摆确实发生倍周期分岔。它的第一次倍周期分岔是从F=1.04873附近开始的，F=1.04873，1.0645，1.0672，1.0678?等处是各级倍周期分岔的分岔点。图3-23给出了在F?1.055与F?1.065时的二周期与四周期相轨线。随着驱动力矩的继续增加，单摆进入无限长周期的运动状态。图3-24为驱动力F?1.072与F?1.093时的相图及其庞加莱截面，从相图看这时的相轨线已无明显的周期性，但从庞加莱截面来看相点基本出现在线上没有扩散开来，因此可以认定单摆所作的是准周期运动。
图3-23 阻尼受驱单摆在F?1.055与F?1.065时的二周期与四周期相轨线
图24 在F
?1.072与F?1.093时的混沌吸引子及其庞加莱截面
进一步计算表明，驱动力直到F?1.0942单摆仍限于摆角为??到?的范围之内振动，也就是说单摆运动尚受约束于以坐标原点为中心的势能曲线范围内。当驱动力F超过1.0942后，单摆的摆角将超出[??，?]范围，这时单摆运动会进入到与坐标中心势谷相邻的势谷中。正如由分岔图可见，在F?1.095~1.145之间有一段很宽的窗口，可见窗口的起点与单摆的摆角超出[??，?]范围时的驱动力相当。在这窗口中单摆处于锁模状态，属规则运动。在F?1.145的窗口外，单摆将进入混沌运动，图3-25给出了F?1.18时的相轨线及庞加莱截面。从相轨线来看，单摆在无规地来回振动中可以进入到?(2n?1)?，n?0,1,2,?的多个势谷之中。从庞加莱截面来看相点已在相平面上扩散开来，说明这是一个混沌吸引子。
图3-25 阻尼受驱单摆在F?1.18时的相轨线与庞加莱截面
⑵ F = 1.25~1.52间的运动状态
从图3-21可见，在驱动力F?1.25―1.46内，单摆的从F?1.25处的混沌区又转入规则运动，单摆将进入两种不同角速度之一的锁模状态。实际上这两个锁
模状态与初始角速度有关，就是说不同初始角速度将进入不同锁模状态。计算表??明?0?0.5时可以进入较低角速度，而?0?1.0时则进入较高角速度的状态。从计算得的相图可以发现，这时单摆处于单方向的旋转运动状态。两种不同锁模状态分别对应单摆的左旋或右旋的运动，这两支状态分别对应的平均角速度为
d?/dt???。在F?1.44时单摆作等周期的单方向旋转运动，属规则运动；在
F?1.44时单摆作单方向二周期旋转，说明在F?1.44附近发生了一次岔式分岔。
这是单摆发生的第二次倍周期分岔，它的第一个分岔点在F?1.405附近。在经过一系列倍周期分岔以后，在F?1.47附近再次进入混沌。
从图3-21可以看到在F?1.50附近有一个周期运动窗口，为了对它进行分析，对F?1.492~1.514驱动力范围进行了更精细的计算得分岔图3-26，于是在图3-21上看不清楚的一些结构这里显示出来了。可以发现在F?1.493处有一个鞍结分岔。根据混沌道路分析，鞍结分岔可以产生阵发性混沌。从计算得的单摆角速度随循环周期的变化的图3-27上可以看到，在F?1.49275处单摆为周期运动，但在驱动力稍小一点的F?1.492745处，单摆的周期运动不时地被打断，说明这里确实存在阵发性混沌。这是玻木–曼维尔型阵发性。在F?1.49275直到F?1.508单摆为周期运动，此后又通过被周期分岔进入混沌，图3-28为F?1.514时的相图及三个不同截面上的庞加莱图形。
综上所述，一个看似简单的单摆系统在不同的驱动力作用下呈现出丰富多彩的运动形式，它是一个复杂的动力学系统。它可处在锁模状态作规则运动，也可作不规则的混沌运动状态；可以通过倍周期进入混沌，也可处在阵发性混沌状态。因此受驱单摆是一个进行动力学系统复杂行为研究的典型力学系统。
图3-26 阻尼受驱单摆在F?1.492~1.514间的分岔图