发布时间 : 星期三 文章2020高考数学专项复习《三角函数的图像和性质知识点及例题讲解》更新完毕开始阅读d5b63e4d473610661ed9ad51f01dc281e53a56a6
三角函数的图像和性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
3
正弦函数 y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) ( ,1) (?,0) ( ,-1) (2?,0) 余弦函数 y=cosx x?[0,2?]的图像中，五个关键点是：(0,1) ( 2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函 数 y ? sin x y ? cos x 性 质 2 2 3
,0) (?,-1) (
2
,0) (2?,1)
2
y ? tan x 图象 定 义 域 值 域 R R ? ???x x ? k? , k ? ?? 2 ? ??R ??1,1? 当 ??1,1? 当 x ? 2k时， 2 ymax ? 1；当 x ? 2k最y ? 1；当 x ? 2k? max 值 2时， ymin ? ?1． 时， ymin ? ?1． 周 期 性 奇 偶 性 x ? 2k? 时 ， ? 既无最大值也无最小值 2 2 奇函数 偶函数 奇函数 单 上是增函数； 调 3??性 ? 在 ?2k? , 2k? ? ? ??在 ?2k? , 2k? ? 2 2 ? ? 在 ?2k数； 在 ?2k, 2k数． ?, 2k? 上是增函 ?上是减函? ??在? k? , k? ? 2 2 ??? ? 上是增函数． ?2 2 ? 上是减函数． 对对称中心?k, 0? 称 x ? k? 性 对称轴 2 ??? 对称中心? k? , 0 ? 2 ??? 对称轴 x ? k - 1 -
? k ??对称中心? , 0 ? ? 2 ??无对称轴
例作下列函数的简图
(1)y=|sinx|，x∈[0，2π]，
(2)y=-cosx，x∈[0，2π]
例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的 x 的集合：
1
(1) sin x ?
2 1
(2) cos x ?
2
3、周期函数定义：对于函数 y ??f (x) ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，
都有： f (x ? T ) ??f (x) ，那么函数 y ??f (x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。
注意： 周期 T 往往是多值的（如 y ? sin x 2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期）周期 T 中最小的正数叫做
y ? f (x) 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y ? sin x , y ? cos x 的最小正周期为 2? （一
般称为周期）
正弦函数、余弦函数： T ??
?
2? ? 。正切函数：
例求下列三角函数的周期：
1? y=sin(x+
3
) 2? y=cos2x 3? y=3sin( +
x
) 4? y=tan3x
2 5
例求下列函数的定义域和值域：
（1） y ? 2 ? sin x （2） y ? ?3sin x （3） y ? lg cos x
????
例 5 求函数 y ? sin(2x ??) 的单调区间
3
- 2 -
例不求值，比较大小
(1)sin(－ )、sin(－
)； (2)cos(－ 23
)、cos(－ 17
)．
18
解：(1)∵－ 且函数 y＝sinx，x∈［－ ， ］是增函数 cos(－ ＜－ ＜－ ＜ ． (2)cos(－
2 10 18 2
2
2
10
5 23 )＝cos 235 5 17 17 )＝cos ＝cos
4
＝cos 3 5
4
∴sin(－ )＜sin(－ ) ∵0＜ ＜ 即 sin(－ 4
4
3 5
4
＜π
10 )－sin(－ 18
)＞0 且 函 数 y＝cosx，x∈［0，π］ 是 减 函 数
∴cos 即 cos ∴cos(－ 18 10
3 ＜cos
5
3 －cos ＜0
4
5 23 5
4
)－cos(－ 17 4
)＜0
4、函数 y ? ?sin ?x ?（1）函数 y ? ?sin ?x ?
??? ? 0,??? ? 0,
? 0? 的图像： ? 0? 的有关概念：
x ?
； ⑤初相：
．
2 1
①振幅： ? ； ②周期： ? ? ； ③频率： f ? ? ； ④相位：
? 2
(2) 振幅变换
①y=Asinx，x?R(A>0 且A?1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 ②它的值域[-A, A] 最大值是 A, 最小值是-A ③若 A<0 可先作 y=-Asinx 的图象 ，再以 x 轴为对称轴翻折 A 称为振幅，这一变换称为振幅变换 (3) 周期变换 ①函数 y=sinωx, x?R (ω>0 且ω?1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长 (0<ω<1)到原来的 倍（纵坐标不变） ②若ω<0 则可用诱导公式将符号“提出”再作图 1 ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换 (4) 相位变换 一般地，函数 y＝sin(x＋ )，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0 时)或向右(当＜0 时＝平行移动｜｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”) - 3 - y＝sin(x＋ )与 y＝sinx 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变 换 5、小结平移法过程（步骤） 作 y=sinx（长度为 2?的某闭区间） 沿 x 轴平 移|φ|个单位 得 y=sin(x+φ) 横坐标伸 横坐标伸长或缩短 得 y=sinωx 沿x 轴平 移| |个单位 得 y=sin(ωx+φ) 纵 坐标伸 长或缩短 长或缩短 得 y=sin(ωx+φ) 纵坐标伸 长或缩短 得 y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到 R 上。 6、函数 y ? ?sin ?x ?? ? ? ，当 x ? x1 时，取得最小值为 ymin ；当 x ? x2 时，取得最大值为 ymax ，则 ? y min ? ? 1 ? y ? y min 2 max ? ? 1 ? y ? ， 2 max ??? x ? x ? x ? x ? ． ? ， 2 2 1 1 2 例 如图 e ，是 f （x ）＝Asin （ωx ＋φ），A ＞0 ，｜φ｜＜ 的一段图 2 象，则 f （x ）的表达式为 例 如图 b 是函数 y＝Asin(ωx＋φ）＋2 的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( 4 A A＝3，Ｔ＝ ，φ＝－ 3 6 43 B A＝1，Ｔ＝ ，φ＝－ 3 4 23 C A＝1，Ｔ＝ ，φ＝－ 3 4 4 D A＝1，Ｔ＝ ，φ＝－ 3 6 图 e ) 例 画出函数 y＝3sin(2x＋ )，x∈R 的简图 3 - 4 -