发布时间 : 星期四 文章2018-2019学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2更新完毕开始阅读d62c9f1d356baf1ffc4ffe4733687e21ae45ff54
1．2.1 几个常用函数的导数
1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
12
1.能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x，y＝，y＝x的导数．
x2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
1．几个常用函数的导数
函数 导数
f(x)＝c(c为常数) f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ xf(x)＝x 2.基本初等函数的导数公式
函数 1f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x f′(x)＝－2 xf′(x)＝12x 1导数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos__x f′(x)＝－sin__x f′(x)＝axln__a f′(x)＝ex f′(x)＝ xln af′(x)＝ x11(1)上述导数公式表是比较全面的，涵盖了基本初等函数中的常数函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数，其中幂函数的导数公式中幂指数可以推广到全体实数． (2)若函数式中含有根式，一般将其转化为分数指数幂的形式，再利用y＝x的导数公
α式解决．
(3)记忆正弦函数、余弦函数的导数时，一要注意函数名的变化，二要注意符号的变化． (4)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数．
(5)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) π?π?(1)?sin?′＝cos.( )
3?3?
1?1?(2)因为(ln x)′＝，所以??′＝ln x．( )
x?x?
(3)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
已知f(x)＝x，则f′(4)＝( ) 1
A．－
4C．－2
1B. 4D．2
111
解析：选B.因为f′(x)＝，所以f′(4)＝＝.
2x244 曲线y＝sin x在x＝0处的切线的倾斜角是( ) A.C.π
2π 6
B.D.π 3π 4
解析：选D.由题知，y′＝cos x，所以y′|x＝0＝cos 0＝1.设此切线的倾斜角为α，π
则tan α＝1，因为α∈[0，π)，所以α＝.
4
已知f(x)＝2，则f′?
xx?1?＝________．
??ln 2?
x解析：因为f(x)＝2，所以f′(x)＝2ln 2， 所以f′?
?1?＝f′(loge)＝2log2eln 2＝eln 2.
?2
?ln 2?
答案：eln 2
探究点1 运用导数公式求导数
求下列函数的导数．
(1)y＝2 018；(2)y＝
3
x1
；
x2
(3)y＝3；(4)y＝log3x. 【解】 (1)因为y＝2 018， 所以y′＝(2 018)′＝0. (2)因为y＝
31
2＝x－，
3
x2
252－2－
所以y′＝－x3－1＝－x x3.
33(3)因为y＝3，所以y′＝3ln 3. (4)因为y＝log3x， 所以y′＝
1. xln 3
用公式求函数导数的方法
(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式3
的基本函数的模式，如y＝4可以写成y＝x，y＝x可以写成y＝x5等，这样就可以直接
1
－4
xx5
3
x使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
??x，x<0
1.已知函数f(x)＝?，若
?ln x，0 3 f′(a)＝12，则实数a的值为 ________． 3x，x<00 解析：f′(x)＝?1，若f′(a)＝12，则?1或?2， ?3a＝12，0 解得a＝或a＝－2. 121 答案：或－2 122．求下列函数的导数． (1)y＝lg 5； 2 ?1?(2)y＝??； ?2? xx2 (3)y＝； x(4)y＝2cos－1. 2 解：(1)y′＝(lg 5)′＝0. 2 x??1?x?′?1?x1 (2)y′＝????＝??ln. ?2?2??2?? x22－ (3)因为y＝＝x2＝x2， x31 3 所以y′＝(x2)′＝x2. 2(4)因为y＝2cos－1＝cos x， 2所以y′＝(cos x)′＝－sin x. 探究点2 利用导数研究曲线的切线方程 2 13 x?π1? (1)求过曲线y＝sin x上一点P?，?且与过这点的切线垂直的直线方程； ?62? (2)已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x的切线方程． 【解】 (1)因为y＝sin x，所以y′＝cos x， 曲线在点P? 2 2 ?π，1?处的切线斜率是 ??62? y′| π3＝cos ＝. 62x＝π 6 2， 3 所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为－ 12?π? 故所求的直线方程为y－＝－?x－?， 6?23?即2x＋3y－ 3π －＝0. 23 2 (2)因为y′＝(x)′＝2x， 设切点为M(x0，y0)， 则y′|x＝x0＝2x0， 又因为直线PQ的斜率为k＝ 4－1 ＝1，而切线平行于直线PQ， 2＋1