发布时间 : 星期四 文章2018-2019学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2更新完毕开始阅读d62c9f1d356baf1ffc4ffe4733687e21ae45ff54
1
所以k＝2x0＝1，即x0＝，
2
?11?所以切点为M?，?. ?24?
11
所以所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
42
1．在本例(2)中是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．
解：假设存在与直线PQ垂直的切线， 4－1
因为PQ的斜率为k＝＝1，
2＋1所以与PQ垂直的切线斜率k＝－1， 设切点为(x′0，y′0)， 则y′|x＝x′0＝2x′0， 令2x′0＝－1， 11
则x′0＝－，y′0＝，
241?1?切线方程为y－＝－?x＋?，
4?2?即4x＋4y＋1＝0.
2．本例(2)中的曲线不变，求过点M(－2，3)的切线方程． 解：设切点为N(x0，y0)， 由y′＝2x，
则切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)． 由M(－2，3)在切线上，则 3－y0＝2x0(－2－x0)，①
又点N(x0，y0)在曲线上，则y0＝x0，② 由①②得x0＝－1或－3.
所以切点为(－1，1)或(－3，9)．
则切线方程为y－1＝－2(x＋1)或y－9＝－6(x＋3)， 即2x＋y＋1＝0或6x＋y＋9＝0.
(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
2
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
1.曲线y＝e在点A(0，1)处的切线方程为( )
A．y＝x＋1 C．y＝ex＋1
xxB．y＝2x＋1 1
D．y＝x＋1
e
解析：选A.由条件得y′＝e，根据导数的几何意义，可得所求切线的斜率k＝y′|x＝0
＝e＝1，故所求切线方程为y＝x＋1.
2．已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值． 解：设切点为(x0，ln x0)， 1
由y＝ln x得y′＝.
0
x因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1. 1
所以y′|x＝x0＝＝1，
x0
即x0＝1，
所以切点为(1，0)． 所以1－0＋c＝0， 所以c＝－1.
1．下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A．y＝sin x C．y＝ln x
B．y＝e D．y＝cos x
x解析：选D.y＝cos x，y′＝－sin x为奇函数，故选D. 2．曲线y＝cos x在点P?13πA.－ 2913πC.＋ 26
解析：选C.因为y′＝－sin x， π1??切点为P?，?，
?32?
?π，1?处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
??32?
13πB.＋ 2913πD.－ 26
所以切线的斜率k＝y′|
π3
＝－sin＝－，
32x＝π
3
13?π?
所以切线方程为y－＝－?x－?，
3?22?13π
令x＝0，得y＝＋，故选C.
26
1
3．已知f(x)＝ln x且f′(x0)＝2，则x0＝________．
x0
解析：因为f(x)＝ln x(x>0)， 1
所以f′(x)＝，
x11
所以f′(x0)＝＝2，
x0x0
所以x0＝1. 答案：1
4．已知点P(e，a)在曲线f(x)＝ln x上，直线l是以点P为切点的切线，求过点P且与直线l垂直的直线的方程(e是自数对数的底数)．
1
解：因为f′(x)＝，
x1
所以直线l的斜率kl＝f′(e)＝.
e所以所求直线的斜率为－e.
因为点P(e，a)在曲线f(x)＝ln x上， 所以a＝ln e＝1.
故所求直线的方程为y－1＝－e(x－e)， 即ex＋y－e－1＝0.
知识结构 深化拓展 连续的奇函数、偶函数、周期函数的导函数性质 如图①是奇函数的图象，图②是偶函数的图象，图③是周期函数的图象．
2
观察图中各曲线的切线，可知 (1)图①中曲线在点A，B处的切线斜率相等，即f′(a)＝f′(－a)． (2)图②中曲线在点A，B处的切线斜率互为相反数，即g′(a)＝－g′(－a)． (3)图③中曲线在不同周期上的同一位置A，B，C处的切线斜率相等，即φ′(a－T)＝φ′(a)＝φ′(a＋T)． 因此，我们可以得到如下结论： (1)奇函数的导数是偶函数． 例如，y＝sin x是奇函数，y′＝cos x是偶函数． (2)偶函数的导数是奇函数． 例如，y＝x是偶函数，y′＝2x是奇函数． (3)周期函数的导数还是周期函数． 例如，y＝sin x的最小正周期是2π，y′＝cos x的最小正周期也是2π. 2 [A 基础达标]
1．给出下列结论： ①(sin x)′＝cos x；
12
②若f(x)＝2，则f′(3)＝－；
x27③(e)′＝e； ④(log4x)′＝1
. xln 4
xx其中正确的有( ) A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
?1?解析：选D.因为(sin x)′＝cos x，所以①正确；f′(x)＝?2?x?
3
′＝(x ?
－2
)′＝－2x－
21xx，则f′(3)＝－，所以②正确；因为(e)′＝e，所以③正确；因为(log4x)′＝，
27xln 4
所以④正确．
?11?α2．若幂函数f(x)＝mx的图象经过点A?，?，则它在点A处的切线方程是( )
?42?
A．2x－y＝0 C．4x－4y＋1＝0
B．2x＋y＝0 D．4x＋4y＋1＝0