概率论与数理统计习题及答案 - -第1章习题详解- 联系客服

发布时间 : 星期四 文章概率论与数理统计习题及答案 - -第1章习题详解- 更新完毕开始阅读d64d9455e45c3b3567ec8b44

题21图 题22图

【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x?y|>30.

如图阴影部分所示.

3021P?2?

60422.从(0,1)中随机地取两个数,求:

6的概率; 51(2) 两个数之积小于的概率.

4(1) 两个数之和小于【解】 设两数为x,y,则0

6. 514417 p1?1?255??0.68

1251(2) xy=<.

4 p2?1???1?11dxdy11???ln2 ??4x?4?42123.设P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(B|A∪B) 【解】 P(BA?B)?P(AB)P(A?)PAB()?

P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)Bocker

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?0.7?0.51?

0.7?0.6?0.5424.在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比

赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球},i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新

球}

由全概率公式,有

P(B)??P(BAi)P(Ai)

i?03

323213C3C9C1C8C9C6C3C9C369C67?3?3?3?3?3?3?3?36C15C15C15C15C15C15C15C15?0.089

25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学

生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问: (1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人? 【解】设A={被调查学生是努力学习的},则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P

(A)=0.8,P(A)=0.2,又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.9,故由贝叶斯公式知

P(A)P(BA)P(AB)(1)P(AB)? ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?0.2?0.11??0.02702

0.8?0.9?0.2?0.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) P(AB)?P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.8?0.14??0.3077

0.8?0.1?0.2?0.913 ?即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

26. 将两信息分别编码为A和B传递出来,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,而

B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A,试问原发信息是A的概率是多少?

【解】 设A={原发信息是A},则={原发信息是B}

C={收到信息是A},则={收到信息是B} 由贝叶斯公式,得

Bocker

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P(AC)? ?P(A)P(CA)P(A)P(CA)?P(A)P(CA)

2/3?0.98?0.99492

2/3?0.98?1/3?0.0127.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱

子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种) 【解】设Ai={箱中原有i个白球}(i=0,1,2),由题设条件知P(Ai)=

出一球为白球}.由贝叶斯公式知

1,i=0,1,2.又设B={抽3P(A1B)?P(BA1)P(A1)P(A1B)?2

P(B)?P(BAi)P(Ai)i?0?2/3?1/31?

1/3?1/3?2/3?1/3?1?1/3328.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率

为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.

【解】 设A={产品确为合格品},B={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

P(AB)? ?P(A)P(BA)P(AB)?

P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.96?0.98?0.998

0.96?0.98?0.04?0.0529.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上

述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?

【解】 设A={该客户是“谨慎的”},B={该客户是“一般的”},

C={该客户是“冒失的”},D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得

P(A|D)? ?P(AD)P(A)P(D|A) ?P(D)P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)0.2?0.05?0.057

0.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.330.加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为

0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率. 【解】设Ai={第i道工序出次品}(i=1,2,3,4).

P(?Ai)?1?P(A1A2A3A4)

i?14 ?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

Bocker

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?1?0.98?0.97?0.95?0.97?0.124 31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概

率不小于0.9?

【解】设必须进行n次独立射击.

1?(0.8)n?0.9

即为 (0.8)?0.1 故 n≥11 至少必须进行11次独立射击.

32.证明:若P(A|B)=P(A|B),则A,B相互独立.

n?【证】 P(A|B)P(A|B)即

P(AB)P(AB)?

P(B)P(B)亦即 P(AB)P(B)?P(AB)P(B)

P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B)

因此 P(AB)?P(A)P(B) 故A与B相互独立.

33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为的概率.

【解】 设Ai={第i人能破译}(i=1,2,3),则

111,,,求将此密码破译出534P(?Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)

i?13 ?1?423???0.6 53434.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人

击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落},Bi={恰有i人击中飞机},i=0,1,2,3

由全概率公式,得

P(A)??P(A|Bi)P(Bi)

i?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458

35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,

且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求: (1) 虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.

Bocker

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