发布时间 : 星期日 文章2020高中数学 第二章2.4 平面向量的数量积 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案4更新完毕开始阅读d652f6a7930ef12d2af90242a8956bec0875a57b
2020
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学习目标：1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．平面向量数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积 a·b＝x1x2＋y1y2 向量垂直 a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 2.向量模的公式：设a＝(x，yx2211)，则|a|＝1＋y1. 3．两点间的距离公式：若A(x，B(x→
1，y1)2，y2)，则|AB|＝
x2－x2
2
1
＋y2－y1
.
4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，则
cos θ＝a·bx1x2＋y1|a||b|＝y2
x2222. 1＋y1x2＋y2
[基础自测]
1．思考辨析
(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0°.((2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b?x1x2－y1y2＝0.( )
(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( ) [解析] (1)×.因为当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b的夹角也可能为180°. (2)×.a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
(3)×.因为两向量的夹角有可能为180°. [答案] (1)× (2)× (3)×
2．已知a＝(2，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝________，|a＋b|＝________. 1 25 [a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4,2)，|a＋b|＝42
＋22
＝25.] 3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝________. 2
3
[因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0， 解得m＝2
3
.]
4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________． 63265
[因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝3＋42＝5，|b|＝52＋122＝13， 所以a与b夹角的余弦值为
a·b|a||b|＝635×13＝63
65
.] [合 作 探 究·攻 重 难]
) 2020 平面向量数量积的坐标运算 →→ (1)如图2-4-4，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝
→→
2，则AE·BF的值是________．
图2-4-4
(2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. ①求a的坐标；
②若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
[思路探究] (1)建系→
求有关点、向
→求数量积
量的坐标
(2) ①先由a＝λb设点a坐标，再由a·b＝10求λ. ②依据运算顺序和数量积的坐标公式求值．
(1)2 [(1)以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角则B(2，0)，D(0,2)，C(2，2)，E(2，1)．
→→
可设F(x,2)，因为AB·AF＝(2，0)·(x,2)＝2x＝2， →→
所以x＝1，所以AE·BF＝(2，1)·(1－2，2)＝2. (2)①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)， 则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2， ∴a＝(2,4)．
②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10， ∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．] [规律方法] 数量积运算的途径及注意点
1进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
2对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解. [跟踪训练]
1．(1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝( ) A．(－15,12) C．－3
坐标系，
B．0 D．－11
(2)已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________.
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?94?(1)C (2)?，? [(1)依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－?77?
5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.
(2)设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，
x＝97
，
所以???
2x－y＝2，??3x＋2y＝5，
?解得?
?所以c＝??9??y＝4
?7，47???
.] 7，
向量模的坐标表示 (1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于 A．4 B．5 C．35
D．45
(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求： ①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标； ③与a垂直的单位向量的坐标.
[思路探究] 综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解．(1)D [(1)由y＋4＝0知
y＝－4，b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝45.故选D. (2)①∵a＝→
AB＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)， ∴|a|＝42
＋－3
2
＝5.
②与a平行的单位向量是±a|a|＝±1
5
(4，－3)，
即坐标为??4
?5
，－3?5??或???－45，3?5??.
③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴m3
n＝4
.
又∵|e|＝1，∴m2
＋n2
＝1. ?m＝3，解得??5??n＝4
5
?或?m＝－3
?5，??n＝－4
5，
( )
【导学号：84352253】
2020
4??34??3
∴e＝?，?或e＝?－，－?.]
5??55??5[规律方法] 求向量的模的两种基本策略 1字母表示下的运算：
利用|a|＝a，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. 2坐标表示下的运算：
若a＝x，y，则a·a＝a＝|a|＝x＋y，于是有|a|＝x＋y. [跟踪训练]
2．若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，则|a－b|的最小值为________． 2 [由已知得a－b＝(3x－2,4－3x)， 所以|a－b|＝
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3x－2
2
＋4－3x2
＝18x－36x＋20＝18x－1
2
＋2，
当x＝1时，|a－b|取最小值为2.]
[探究问题]
向量的夹角与垂直问题 1．设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？ 提示：cos θ＝
a·bx1x2＋y1y2
＝22. 2
|a||b|x1＋y1·x2＋y22
2．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于？ 提示：由已知得a－b＝(1－x,4)． ∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0. ∵a＝(1,2)，∴1－x＋8＝0，∴x＝9.
(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是( ) A．(－2，＋∞) C．(－∞，－2)
1??1??B．?－2，?∪?，＋∞?
2??2??D．(－2,2)
→
(2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标.
【导学号：84352254】
[思路探究] (1)可利用a，b的夹角为锐角??
?a·b>0，???a≠λb
求解．
→→→→
(2)设出点D的坐标，利用BD与BC共线，AD⊥BC列方程组求解点D的坐标．
1
(1)B [(1)当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角
21?1?为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是?－2，?∪2?2?