发布时间 : 星期三 文章计算机图形学各种算法的作业（偏于理论）更新完毕开始阅读d669a0c2d5bbfd0a795673b5
LH计算机图形学作业：共九道题
?P(0,0)?P?0,0??P?0,1??Pv(u,v)?P(u,1)?P(u,0)?[1?u,u]?v?
P(1,0)?P1,0?P1,1??????v 可见，跨界切矢不仅与该边界端点的切矢有关，还与该边界曲线有关。因此，双线性Coons曲面在曲面片的边界上，跨界切矢一般不连续，也就是说，不能达到曲面片的光滑拼接。
为了构造光滑拼接的Coons曲面，除了给定边界信息外，还要给定边界的跨界切矢。也就是说，构造出的Coons曲面片不仅以给定的四条参数曲线为边界，还要保持四条曲线的跨界切矢。假定四条边界曲线为：
P(u,0),P(u,1),P(0,v),P(1,v),u,v?[0,1]
四条边界曲线的跨界切矢为：
Pv(u,0),Pv(u,1),Pu(0,v),Pu(1,v),u,v?[0,1]
我们不妨取Hermite基函数F0,F以类似于双线G1,G0,作1为调和函数，性Coons曲面的构造方法，构造双三次Coons曲面。在u向可得曲面: P1(u,v)P1(u,v)?F0(u)P(0,v)?F,v)?G0(u)Pu(0,v)?G1(u)Pu(1,v)1(u)P(1在v向可得曲面P2(u,v：)
u,v?[0,1] u,v?[0,1]
P2(u,v)?F0(v)P(u,0)?F1(v)P(u,1)?G0(v)Pv(u,0)?G1(v)Pv(u,1)对角点的数据进行插值，可得曲面P3(u,v)：
?P?0,0??P?1,0?P3(u,v)?[F0(u),F1(u),G0(u),G1(u)]??Pu(0,0)??Pu(1,0)P?0,1?P?1,1?Pu(0,1)Pu(1,1)Pv(0,0)Pv(1,0)Puv(0,0)Puv(1,0)Pv(0,1)??F0(v)???F(v)Pv(1,1)??1??
Puv(0,1)??G0(v)????Puv(1,1)??G1(v)?u,v?[0,1]。可以验证曲面P(u,v)?P1(u,v)?P2(u,v)?P3(u,v),u,v?[0,1]的边界
及边界跨界切矢就是已经给定的四条边界曲线和四条边界曲线的跨界切矢，称之为双三次Coons曲面片。P(u,v)改成矩阵的形式为：
?0?P(0,v)?P(u,v)??[?1,F0(u),F1(u),G0(u),G1(u)]?P(1,v)??Pu(0,v)??Pu(1,v)P(u,0)P(0,0)P?1,0?Pu(0,0)Pu(1,0)P(u,1)P?0,1?P?1,1?Pu(0,1)Pu(1,1)Pv(u,0)Pv(0,0)Pv(1,0)Puv(0,0)Puv(1,0)Pv(u,1)???1??F(v)?Pv(0,1)???0?Pv(1,1)??F1(v)?
???Puv(0,1)??G0(v)?Puv(1,1)??G1(v)????u,v?[0,1](5.2)
)边的五阶方阵（即边界信息矩阵）中，第一行与第一列 在式(5.2右
包含着给定的两对边界与相应的跨界切矢，剩下的四阶子方阵的元素由四个角点上的信息组成，包括角点的位置矢量、切矢及扭矢。
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观察方程(5.1与)(5.2)，可以发现：对曲面片满足边界条件的要求提高一阶，曲面方程中的边界信息矩阵就要扩大二阶，并且要多用一对调和函数；边界信息矩阵的第一行与第一列包含着全部给定边界信息；余下的子方阵则包含着角点信息。认识了这些规律后，就能容易地构造出满足更高阶边界条件的Coons曲面方程。
6 CAGD中有关曲线曲面Cn、Gn拼接技术
6.1 基本原理
几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条件。 6.2 Bezier曲线的C0、G0、C1、G1、C2、G2的拼接条件
设给定两条Bézier曲线的控制点列Pi(i?0,1,?,n)，且ai?Pi?P?i和1)与Q(t相)连，则要在连接点处Qj，其中j?0,1,?,m;bj?Qj?Qj?1。若将P(t段
达到G,G,G级连续的充要条件是：
012（1）G0级连续的充要条件是：Pn?Q0。
)起点重合，曲线在连接点处不能保证是光滑即P(t)的终点与Q(t的
连接。
（2）G1级连续的充要条件为两段曲线在连接点处不仅达到G0级连
)??P(?1)?(，根据端点性质：P?(1)?nan,Q?(0)?mb1，即 续，且Q?(0?nb1?a?an?a??an(a??0)
m这意味着Pn?1,Pn?Q0,Q1三点共线且顺序排列。当???1时达到G1级连续，此时不仅具有上述性质，而且Pn为Pn?1和Q0两点连线的中点。
（3）G2级连续的充要条件为：两段曲线不仅在连接点处达到G0级和G1级连续，还要求密切平面重合，副法线向量同向且曲率连续，更确切的说曲率矢连续，即G2。则在G1级连续的条件下，并满足方程
Q??(0)??2P??(1)??P?(1)。我们将Q??(0)、P??(1)、P?(1)，Pn?Q0、Q1?Q0???Pn?Pn?1?代入并整理得到：
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