发布时间 : 星期三 文章2017年全国高考数学试题分类汇编考点50不等式选讲更新完毕开始阅读d777086359f5f61fb7360b4c2e3f5727a4e92413
考点52 不等式选讲
一、 选择题
?x2?x?3,x?1?1.(2017年天津高考理科·T8)已知函数f(x)＝?设a∈R,若关于x的不等2?x?,x?1x?式f(x)≥
x?a在R上恒成立,则a的取值范围是 ( ) 2?47??4739?A.??,2? B.??,? ?16??1616??C.???23,2?
39??D.??23,?
16??【命题意图】本题考查不等式恒成立问题,题目综合了分段函数、绝对值不等式、二次函数最值、基本不等式等知识点.要求考生掌握分类讨论思想,具有较强的转化能力与综合运算能力.
【试题解析】选A.不等式f(x)≥当x≤1,①式为-x2＋x-3≤即-x2＋
2
xx?a可化为-f(x)≤＋a≤f(x) ①, 22x＋a≤x2-x＋3, 2x3-3≤a≤x2-x＋3, 222x471?47?又-x＋-3＝-?x??-≤-,
2164?16?339393??x-x＋3＝?x??＋≥,
216164??2
2所以,-
4739≤a≤. 16162x23212≤＋a≤x＋,所以-x-≤a≤x＋, x2x2x2x1
当x＞1,①式为-x-
又-
2?32?3x-＝-??x??≤-23,
x?2x?212x＋≥2,所以-23≤a≤2, 2x47综上-≤a≤2. 16?x?2,x?1?2.(2017年天津高考文科·T8)已知函数f(x)＝? 设a∈R,若关于x的不等式 2?x?,x?1x?f(x)≥
x?a在R上恒成立,则a的取值范围是 ( ) 2A.[-2,2] B.[-23,2] C.[-2,23] D.[-23,23]
【命题意图】本题考查不等式恒成立问题,题目综合了分段函数、绝对值不等式等知识点.要求考生掌握分类讨论思想,具有较强的转化能力与数形结合思想.
?x?2,x?1xx?2a??a【试题解析】选A.方法一:因为函数f(x)＝?所以,令g(x)＝ ＝,222?x?,x?1x?当x＝-2a时,g(x)取最小值,最小值为0,g(x)是斜率为±
1的一簇折线,当x≥1时,函数f(x)2的最小值在x＝2时取到,最小值为22,所以函数f(x)和g(x)的图象如图所示,所以要
?a?2x?使f(x)≥?a恒成立,当a＞0时,应满足?2a?2解得0＜a≤2;当a＝0时,f(x)≥
2?22??2x?a恒成立;当a＜0时,应满足-a≤2,解得-2≤a＜0.综上所述,a的取值范围是-2≤a≤2. 2
2
方法二:满足题意时f(x)的图象恒不在函数y＝
x?a下方, 2当a＝23时,函数图象如图所示,排除C,D选项;
当a＝-23时,函数图象如图所示,排除B选项,
二、填空题
1(2017年浙江高考·T17)已知a∈R,函数f?x?＝x?是5,则a的取值范围是 .
【命题意图】本题主要考查基本不等式和求解绝对值不等式.
4∈?4,5?. x449(1)当a≥5时,f(x)＝a-x-＋a＝2a-x-,函数的最大值2a-4＝5,所以a＝(舍去).
xx244(2)当a≤4时,f(x)＝x＋-a＋a＝x＋≤5,此时符合题意.
xx4?a＋a在区间[1,4]上的最大值x【试题解析】当x∈?1,4?时,x＋
(3)当4＜a＜5时,
??f?x???max＝max?4?a?a,5?a?a?,
??4?a?a?5?a?a则? ??4?a?a?5 3