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数学竞赛题（第一章 有关直线的试题）
1．设?ABC的三边长分别为AB?c,BC?a,CA?b.a,b,c互不相等，AD,BE,CF分别为
?ABC的三条内角平分线，且DE?DF，证明：
⑴
abc； ⑵?BAC?90?． ??b?cc?aa?b（2003年中国女子数学奥林匹克）
2．证明：若凸四边形ABCD内任意一点P到边AB，BC，CD，DA的距离之和为定值，则ABCD是平行四边形． （2003年中国西部数学奥林匹克） 3．已知?ABC的外接圆半径为R，若
a?cos??bc?osa?nsi??bnsi???cos?c??nsi?c??a?bc??9R，其中，a,b,c为?ABC的三边长，?,?,?分别为?A,?B,?C的角度数，求?,?,?的值．
（2002—2003年匈牙利数学奥林匹克）
4．由小三角形H1,H2,明：r≤r1?r2?,Hn拼成三角形H，它们的内切圆半径分别为r1,r2,,rn和r，证
?rn. （2002—2003年匈牙利数学奥林匹克）
5．已知?ABC，由顶点A分别向?B和?C的平分线引垂线，垂足分别为A1和A2，同理，定义B1,B2和C1,C2.证明：2(A1A2?B1B2?C1C2)?AB?BC?CA.
（2002—2003年匈牙利数学奥林匹克）
6．平面上的点集H称为是好的，如果H中任意3个点都存在一条对称轴，使得这3个点关于这条对称轴对称，证明：⑴一个好的集合不一定是轴对称的；
⑵如果一个好的集合中恰有2003个点，则这2003个点在一条直线上
7．设H是锐角△ABC的高线CP上的任一点，直线AH，BH分别交BC，AC于点M，N．
⑴证明：∠NPC=∠MPC；
⑵设O是MN与CP的交点，一条通过O的任意的直线交四边形CNHM的边于D，E两点，证明：∠EPC=∠DPC 8．P是△ABC内的一点，直线AC，BP相交于Q，直线AB，CP相交于R，已知AR=RB=CP，CQ=PQ，求∠BRC
9．在锐角△ABC中，点A，B到对边垂线的垂足分别为Ha,Hb.?A,?B的平分线分别交对边点Wa,Wb，证明：?ABC的内心I在线段HaHb上当且仅当外心O在WaWb上
10．在ABCD中，M,N分别在AB，BC上，且M,N不与端点重合，AM=NC，设AN与CM交于点Q，证明：DQ平分∠ADC
11．对于任意三角形都有两条边的边长之差不超过这个三角形周长的六分之一，请判断此命题是否成立
1
12．已知△ABC，且边AC，BC中点的连线为lc,?A,?B的平分线分别交直线lc于M，N，同理，在直线lb上定义K，L；在直线la上定义P，Q，证明：
2(MN+KL+PQ)=AB+BC+CA
13．如图，已知锐角△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别为A1，B1，C1，分别由A1，B1，C1向△ABC的的另外两条边作垂线，相应的交点分别为A2，B2，C2，证明：六边形A1C2B1A2C1B2的面积等于△ABC面积的一半 14．在一条直线上按A，B，C的次序排列着三个点，且AB=8，
AC=18，D为直线外一点，且DA⊥AB，求AD等于多少时，∠BDC有最大值？
15．已知梯形ABCD，AB∥CD，若高为2，AB=2，CD=4，且AB的中点为M，当边CD上的点N移动时，求△ANB和△DMC公共部分的面积的最大值
16．已知一个角的一条边上有1001个不同的点A0，A1，…，A1000，另一条边上也有1001个不同的点B0，B1，…，B1000，且满足A0A1=A1A2=…=A999A1000，B0B1=B1B2=…=B999B1000，若四边形A0A1B1B0和四边形A1A2B2B1的面积分别为5和7，求四边形A999A1000B1000B999的面积
17．已知圆内接四边形ABCD满足AB=BC=AD+CD，∠BAD=a，AC=d，求△ABC的面积 18．若三角形和矩形有相等的周长和面积，则称它们是“孪生的”，证明：对于给定的三角形，存在“孪生的”矩形，该矩形不是正方形，且较长的边与较短的边之比至少为
??1??(??2)，其中??33 219．已知凸五边形ABCDE满足AB=BC，CD=DE，∠ABC=150°，∠CDE=30°，BD=2，求五边形ABCDE的面积
20．锐角△ABC中，H是垂心，O是外心，I是内心，已知∠C＞∠B＞∠A，求证：I在 △BOH内部
21．设D为锐角△ABC内部一点，且满足条件： DA·DB·AB+DB·DC·BC+DC·DA·CA=AB· BC·CA，试确定点D的几何位置，并证明你的结论
22．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G，求证明：∠GAC=∠EAC
23．平面上给定凸四边形ABCD及其内点E和F，适合AE=BE，CE=DE，∠AEB=∠CED，AF=DF，BF=CF，∠AFD=∠BFC，求证：∠AFD+∠AEB=π
24．给定正△ABC，D是BC边上任意一点，△ABD的外心、内心分别为O1，I1，△ADC的外心、内心分别为O2，I2，直线O1I1与O2I2相交于P，试求：当点D在BC边上运动时，点P的轨迹
25．设锐角△ABC的外心为O，从A作BC的高，垂足为P，且∠BCA≥∠ABC+30°，证明：∠CAB+∠COP＜90°
26．设点I，H分别为锐角△ABC的内心垂心，点B1，C1分别为AC，AB的中点，已知射
2
线B1I交边AB于点B2(B2≠B)，射线C1I交AC的延长线于点C2，B2C2与BC相交于K，A1为△BHC的外心，试证：A，I，A1三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2的面积相等
27．锐角△ABC有三条高分别为AD，BE，CF，求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半
28．凸四边形ABCD的对角线交于点M，点P，Q分别是△AMD和△CMB的重心，R，S分别是△DMC和△MAB的垂心，求证：PQ⊥RS
29．设D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，?,?,?,?分别是△AEF，△BFD，△CDE和△DEF的面积，求证：
1???1???1??≥
3?2
30．在给定梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB边上的动点，O1，O2分别是△AED和△BEC的外心，求证：O1O2的长为一定值
31．设一个凸n边形没有两条边互相平行，求证：过其内部一点O平分该n边形的面积的直线至多n条
32．△ABC中，AC＞AB，P为BC的垂直平分线和∠A的内角平分线的交点，作PX⊥AB，交AB的延长线于点X，PY⊥AC，交AC于点Y，Z为XY和BC的交点，求
BZ的值 ZC33．设D为△ABC的边AC上一点，E和F分别为线段BD和BC上的点，满足∠BAE=∠CAF，再设P，Q为线段BC和BD上的点，使得EP∥QF∥DC，求证：∠BAP=∠QAC 34．已知△ABC的三个顶点A，B，C分别在锐角△A1B1C1的边B1C1，C1A1，A1B1上，使得∠ABC=∠A1B1C1，∠BCA=∠B1C1A1，∠CAB=∠C1A1B1，求证：△ABC和△A1B1C1的垂心到△ABC的外心距离相等
35．设△ABC的三边a,b,c上对应的中线为ma,mb,mc，内角平分线为wa,wb,wc，且
wamb?P,wbmc?Q,wcma?R，记△PQR的面积为?，△ABC的面积为F，求使
不等式
?F??成立的最小正常数?
36．⑴设D为△ABC内任一点，求证：
?2sinA,?A?90?BC ??,?A?90?min{AD,BD,CD}?2⑵设E为凸四边形ABCD内任一点，A，B，C，D，E五点中任意两点间的最大距离与
最小距离之比记为k，求证：k≥2sin70?，并说明等号能否成立 37．在锐角△ABC中，AD是∠A的内角平分线，点D在边BC上，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，联结BE，CF，它们相交于点H，△AFH的外接圆交BE于点G，求证：线段BG，GF和BF组成的三角形是直角三角形
38．以△ABC的三边向形外分别作正方形ABHI，BCDE和CAFG，设XYZ是线段EF，DI
3
和GH围出的三角形，求证：S?XYZ?(4?23)S?ABC
39．锐角△ABC中，AB≠AC，H，G分别为该三角形的垂心和重心，已知
1S?HAB?1S?HAC
?2S?HBC，求证：?AGH?90?
40．在△ABC中是否存在一点P，使得过点P的任意直线都将△ABC分成面积相等的两部分？为什么？
41．AD，BE，CF是△ABC的高，K，M，N分别为△AEF，△BFD，△CDE的垂心，求证：△DEF和△KMN是全等三角形
42．已知过锐角△ABC顶点A，B，C的高线分别交对边于D，E，F，AB＞AC，直线EF交BC延长线于P，过点D且平行EF的直线分别交AC延长线和AB于Q，R，N是BC上的一点，且∠NQP+∠NRP＜180°，求证：BN＞CN
43．点A在∠KMN内，点B在KM上，点C在MN上，如果∠CBM=∠ABK，∠BCM= ∠CAN，求证：△BCM的外心在AM上
44．如图，△AEF是矩形ABCD的内接直角三角形，E，F分别在边BC，CD上，且∠AEF= 90°，AE= 4，EF=3，求矩形ABCD面积的最小值
45．已知I为△ABC的内心，联结AI，BI，CI，若△BIC，△CIA，△AIB中有一个三角形与△ABC相似，求△ABC各角的大小
46．设P为锐△ABC内一点，P到三条边BC，CA，AB的垂足分别为D，E，F，求出（并加以证明）使PD2+PE2+PF2达到最小值的点P
47．已知△ABC是边长为1的正三角形，D是边BC上一点且BD= p，r1，r2分别是△ABD和△ADC的内切圆的半径，请用p表示r1r2，并求r1r2的最大值
48．已知D是△ABC的边AB上的任意一点，E是边AC上的任意一点，联结DE，F是线段DE上的任意一点，设
ADAEDF?x,?y,?z，证明： ABACDE ⑴S?BDF?(1?x)yzS?ABC,S?CEF?x(1?y)(1?z)S?ABC ⑵3S?BDF?3S?CEF?3S?ABC 49．在锐角△ABC中，点A，B，C在边BC，CA，AB上的投影分别为D，E，F，点A，B，
C在边EF，FD，DE上的投影分别为P，Q，R，记△ABC，△PQR，△DEF的周长分别为p1，p2，p3，证明：p1p2≥p3
50．P是凸四边形ABCD所在平面上一点，∠APB，∠BPC，∠CPD，∠DPA的平分线分别交AB，BC，CD，DA于点K，L，M，N ⑴寻找一点P，使KLMN是平行四边形； ⑵求所有这样点P的轨迹
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