发布时间 : 星期四 文章数学竞赛题-世界各国最新平几竞赛题更新完毕开始阅读d89631ed4afe04a1b071ded9
且H在△ABC的外接圆圆周上
24．某圆分别与凸四边形ABCD的AB，BC两边相切于G，H两点，与对角线AC相交于E，F两点，问ABCD应满足怎样的充要条件，使得存在另一圆过E，F两点，且分别与DA，DC的延长线相切？证明你的结论 25．如图，在锐角△ABC的BC边上有两点E，F，满足?BAE??CAF，作FM?AB,FN?AC（M，N是垂足），延长AE交△ABC的外接圆于点D，证明：四边形AMDN与△ABC的面积相等
26．设a,b,c为△ABC的三条边，a?b?c，R和r分别为△ABC的外
接圆半径和内切圆半径，令f?a?b?2R?2r，试用?C的大小来判定f的符号 27．如图，在△ABC的中，AB=AC，线段AB上有一点D，线段AC的延长线上有一点E，使得DE=AC；线段DE与△ABC外接圆交于点T，P是线段AT的延长线上的一点，证明：点P满足PD+PE=AT的充分必要条件是点P在△ADE的外接圆上
28．设A，B，C，D是圆周上依顺时针方向排布的四点，满足AB＜AD，BC＞CD，∠BAD的平分线交圆周于点X，∠BCD的平分线交圆周于点Y，考虑圆周上这六点组成的六边形，如果六边形六条边中的四条长度相等，证明BD是圆的直径
29．圆?1和圆?2相交于点M和N，设l是圆?1和圆?2的两条公切线中距离M较近的那条公切线，l与圆?1相交于点A，与圆?2相切于点B，设经过点M且与l平行的直线与圆?1还相交于点C，与圆?2还相交于点D，直线CA和DB相交于点E，直线AN和CD相交于点P，直线BN和CD相交于点Q，证明：EP=EQ
30．设AH1，BH2，CH3是锐角△ABC的三条高线，△ABC的内切圆与边BC，CA，AB分别相结切于点T1，T2，T3，设直线l1,l2,l3分别是直线H2H3，H3H1，H1H2关于直线T2T3，T3T1，T1T2的对称直线，证明：l1,l2,l3所确定的三角形，其顶点都在△ABC的内切圆上
31．设锐角△ABC的的外心为O，从A作BC的高，垂足为P，且?BCA??ABC?30?，证明：∠CAB+∠COP＜90°
32．圆O1和圆O2相交于B，C两点，且BC是圆O1的直径，过点C作圆O1的切线，交圆O2于另一点A，联结AB，交圆O1于另一点E，联结CE并延长，交圆O2于点F，设点H为线段AF上的任意一点，联结HE并延长，交圆O1于点G，联结BG并延长，与AC的延长线交于点D，求证：
AHAC ?HFCD13
33．设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P为△ABC的三边BC，CA，AB
上的射影为D，E，F，求证：以FE，FD为邻边的平行四边形位于△ABC内
34．设D是△ABC的边BC上一点，但不是其中点，设O1和O2分别是△ABD和△ADC的外心，求证：△ABC的中线AK的垂直平分线过线段O1O2的中点
35．设一个既有外接圆，又有内切圆的凸n边形的面积为B，其外接圆面积为A，内切圆面积为C，求证：2B＜A+C
36．设C(I)是以△ABC的内心I为圆心的一个圆，点D，E，F分别是从I出发垂直于边BC，CA和AB的直线与C(I)的交点，求证：AD，BE和CF三线共点
37．点P为△ABC的外接圆上劣弧BC内的动点，I1，I2分别是△PAB，△PAC的内心，求证：⑴△PI1I2的外接圆过定点；⑵以I1I2为直径的圆过定点；⑶I1I2的中点在定圆上
38．△ABC的角A，B，C的内角平分线分别交该三角形外接圆于点K，L，M，R为边AB上任意一点，点P，R，Q满足RP∥AK，BP⊥BL，RQ∥BL，AQ⊥AK，求证：KP，LQ和MR三线共点
39．过锐角△ABC的顶点A，B作该三角形的外接圆的切线，他们分别与过点C的该三角形的外接圆的切线交于点D，E，直线AE交BC于点P，直线BD交AC于R，设Q为AP的中点，S为BR中点，求证：∠ABQ=∠BAS
40．平面上两个圆交于点A，B，设PQ为它们的一条公切线，P，Q为切点，S为过点P，Q所作的△APQ的外接圆的切线的交点，H是B关于PQ的对称点，求证：A，S，H三点共线 41．设ABCD是一个长方形，T是过点A，C的一个圆的一段弧，T1是边AD，DC和弧T都相切的一个圆，T2是与边AB，BC和弧T都相切的一个圆，这里T1和T2全部落在长方形ABCD内，设Tj的半径为rj，j=1，2，r是△ABC的内切圆半径，求证：⑴r1?r2?2r； ⑵T1和T2的一条公切线与AC平行，且其长度为长方形ABCD两边长的差
42．给定一个非等腰的?ABC，设该三角形的内切圆k（圆心为0）分别切三边BC，CA和AB于点A1，B1和C1，并且AA1∩k=A2，BB1∩k=B2，A1A3，B1B3分别是?A1B1C1的内角平分线(A3?B1C1,B3?A1C1)，求证：⑴A2A3为?B1A2C1的角平分线；⑵若P，Q为?A1A2A3和?B1B2B3的外接圆的交点，则O在直线PQ上
43．凸四边形ABCD有内切圆，该内切圆分别切边DA，AB，BC和CD于点K，L，M，N，设S1，S2，S3，S4分别是△AKL，△BLM，△CMN和△DNK的内切圆，圆S1，S2的另一条外公切线，圆S2，S3的另一条外公切线，圆S3，S4的另一条外公切线，圆S4，S1的另一条外公切线都不是ABCD的边，求证：由这些外公切线围成的四边形是一个菱形
44．设AEFG为一个圆内接凸四边形，延长AE，GF得交点B，延长EF，AG得交点C，D为BC的中点，联结AD交该四边形的外接圆于点H，求证：B，F，H，C四点共圆
45．设ABCD为等腰梯形，AB∥CD，△BCD的内切圆W切CD于E，F为∠DAC的内角平分线上一点，使得EF⊥CD，△ACF的外接圆与直线CD交于点C和G，求证：GF＞BF
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46．长分别为a,b,c,d的凸四边形ABCD外切于圆O，求证：OA?OC?OB?OD?abcd 47．?ABC中，AB?BC?CA,AB?6,?C??B?90?，圆O为内切圆，E是BC边上的切点，EF是圆O的直径，射线AF交BC边于点D，若DE等于?ABC外接圆的半径，求边BC，AC的长
48．在等腰Rt?ABC中，?A?90?,AB?1,D为BC的中点，E，F为
BC边上另外两点，M为△ADE的外接圆和△ABF的外接圆的另一个交点；N为直线AF与△ACE的外接圆的另一个交点；P为直线AD与△AMN的外接圆的另一个交点（如图），求AP的长度
49．设△ABC内接圆O，过A作切线PD，D在射线BC上，P在射线
DA上，过P作圆O的割线PU，U在BD上，PU交圆O于Q，T且交AB，AC于R，S，证明：若QR=ST，则PQ=UT
50．在一个非钝角△ABC中，AB＞AC，∠B=45°，O和I分别是△ABC的外心和内心，且
2OI?AB?AC，求sinA
51．设AB是一个圆W的直径，l为过点A的W的切线，C，M，D为直线l上依次排列的三个点，且CM=MD，直线BC，BD分别交W于点P，Q，求证：在直线BM上存在一点R，使得RP和RQ均与W相切
52．设A1A2A3A4是一个既有外接圆，又有内切圆的凸四边形，且其内切圆分别与
A1A2,A2A3,A3A4和A4A1切于点B1,B2,B3,B4，求证：(AAAAA1A22)?(23)2?(34)2 B1B2B2B3B3B4?(A4A12)≥8 B4B153．设ABCD为一个圆内接四边形，且AD与BC不平行，E，F为CD上的点，G，H分别△BCE和△ADE的外心，求证：AB，CD，GH三线共点或两两平行的充要条件是A，B，E，F四点共圆
54．圆S1和S2交于点P和Q，在S1上取两个不同的A1和B1（不同于P，Q），直线A1P和B1P分别交S2于另外一点A2，B2，直线A1B1和A2B2交于点C，求证：当A1和B1变化时，△A1A2C的外心在一个固定的圆上变化
55．设在△ABC内存在一点F，使得∠AFB=∠BFC=∠CFA，直线BF和CF分别交AC，AB于点D和E，求证：AB+AC≥4DE
56．锐角△ABC的内切圆?切BC于点K，AD为△ABC的高，M为AD的中点，直线KM交?于另一点N，求证：△BCN的外接圆与?切于点N
57．AB为等腰△ABC的底边，CD是其一条高，P为CD上一点，E为AP与BC的交点，F是BP与AC的交点，若△ABP的内切圆与四边形PECF的内切圆半径相等，求证：△ADP的内切圆与△BCP的内切圆半径相等
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58．圆S1和S2交于点A和B，过A的一直线分别交S1，S2于点C，D．M，N，K分别为CD，BC和BD上的点，使得MN∥BD，MK∥BC，E，F分别为S1中弧BC和S2中弧BD（都不含点A）上的点，E到BC的射影为N，F到BD的射影为K，求证：∠EMF=90° 59．设ABCD是一个圆内接四边形，点P，Q和R分别是D到直线BC，CA和AB的射影，证明：PQ=QR的充要条件是∠ABC和∠ADC的角平分线的交点在AC上 60．如图，圆O是△ABC的外接圆，点I是△ABC的内心，射线AI，BI，CI各交对边于点D，E，F，射线AD，BE，CF各交圆O于点A',B',C'，
求证：AA'?ID?BB'?IE?CC'?IF
61．△ABC中，X是AB上的一点，Y是BC上的一点，线段AY和CX相交于点Z，假如AY=YC及AB=ZC，求证：B，X，Z和Y四点共圆
62．P为圆O外一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，设Q为PO与AB的交点，过Q作圆O的任意一条弦CD，证明：△PAB与△PCD有相同的内心
63．设R,r分别是△ABC的外接圆半径和内切圆半径，R',r'分别是?A'B'C'的外接圆半径和内切圆半径，证明：若?C??C',Rr'?R'r，则?ABC∽?A'B'C'
64．在△ABC中，已知∠B内的旁切圆与CA相切于D，∠C内的旁切圆与AB相切于E，过DE和BC的中点M和N作一直线，求证：直线MN平分△ABC的周长，且与∠A的角平分线平行
65．如图，ABCD是圆内接四边形，AC是圆的直径，BD⊥AC，AC与BD的交点为E，F在DA的延长线上，联结BF，G在BA的延长线上，DG∥BF，H在GF的延长线上，CH⊥GF，证明：B，E，F，H四点共圆 66．设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A，D，C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B，D，F三点的圆与边AB交于点E，求证：CD·EF+DF·AE=BD·AF
67．凸四边形ABCD为圆内接四边形，其中∠A=60°，BC=CD=1，射线AB，DC相交于E，射线BC，AD相交于F，已知△BCE及△CDF的周长都是整数，求四边形ABCD的周长 68．以锐角△ABC的两边AB，AC为直径向△ABC外各作一个半圆，AH⊥BC交BC于H，点D是边BC上任意一点（不是端点），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交两个半圆于点E，F，求证：D，E，F，H四点共圆
69．圆心为O1和O2的两个半径相等的圆相交于P，Q两点，O是公共弦PQ的中点，过P任作两条割线AB和CD（AB，CD均不与PQ重合），点A，C在圆O1上，点B，D在圆O2上，联结AD和BC，点M，N分别是AD，BC的中点，已知O1和O2不在两圆的公共部分内，点M，N均不与点O重合，求证：M，N，O三点共线
70．求实数?的最大值，使得只要点P在锐角△ABC内部，∠PAB=∠PBC=∠PCA，射线AP，BP，CP分别交△PBC，△PCA，△PAB的外接圆于A1，B1，C1，就有S?A1BC?S?B1CA?S?C1AB≥?S?ABC
71．设∠XOY=90°，P为∠XOY内的一点，且OP=1，∠XOP=30°，过点P任意作一条直
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