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椭圆典型题型归纳
题型一. 定义及其应用
例1：已知一个动圆与圆C:(x?4)2?y2?100相内切，且过点A(4,0)，求这个动圆圆心M的轨迹方程；
练习：
22221.方程(x?3)?y?(x?3)?y?6对应的图形是（ ）
A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆
22222.方程(x?3)?y?(x?3)?y?10对应的图形是（ ）
A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆
22223.方程x?(y?3)?x?(y?3)?10成立的充要条件是（ ）
x2y2x2y2x2y2x2y2??1 B.??1 C. ??1 D. ??1 A.
25162591625925224.如果方程x?(y?m)?x2?(y?m)2?m?1表示椭圆，则m的取值范围是 5.过椭圆9x2?4y2?1的一个焦点F则A,B两点与椭圆的另一个焦点F21的直线与椭圆相交于A,B两点，构成的?ABF2的周长等于 ；
6.设圆(x?1)2?y2?25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为 ；
题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线
x2y2??1的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹 例1.方程
1625（二）分情况求椭圆的方程
例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，求椭圆的方程；
（三）用待定系数法求方程
例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P求椭圆的方程； 1(6,1)、P2(?3,?2)，
例4.求经过点(2,?3)且与椭圆9x2?4y2?36有共同焦点的椭圆方程；
（四）定义法求轨迹方程；
,0),(C1,0)，求满足b?a?c且b,a,c成等例5.在?ABC中，A,B,C所对的三边分别为a,b,c，且B(?1差数列时顶点A的轨迹；
练习：
1、动圆P与圆C1:(x?4)?y?81内切与圆C2:(x?4)?y?1外切，求动圆圆心的P的轨迹方程。 2、已知动圆C过点A(?2,0)，且与圆C2:(x?2)2?y2?64相内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ；
（五）相关点法求轨迹方程；
2222x2?y2?1上任一点，求AQ的中点M的轨迹方程； 例6.已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆4
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（六）直接法求轨迹方程；
例7.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2?2y2?4交于A,B两点，点P是直线l上满足PA?PB?1的点，求点P的轨迹方程；
（七）列方程组求方程
例8.中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线y?3x?2截得的弦的中点的横坐标为的方程；
1，求此椭圆2题型三.焦点三角形问题
椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；
22椭圆x?y?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)和焦点F1(?c,0)，F2(c,0)为顶点的?PFF中，?FPF，则12??1222ab当P为短轴端点时?最大，且 ①PF1?PF2?2a； ②4c2?PF12?PF22?2PF1PF2cos?；
2③S?PFF?1PF1PF2sin?=b2?tan?。（b短轴长）
122225xy例：知椭圆??1上一点P的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为F2、F1，求
31625PF1、PF2及
cos?F1PF2；
练习：
x2y21、椭圆??1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若PF1?4，则PF2? ；
92?F1PF2的大小为 ；
x2y2??1上的一点，F1和F2为左右焦点，若?F1PF2?60。 2、P是椭圆
259（1）求?F（2）求点P的坐标。 1PF2的面积；
题型四.椭圆的几何性质
5x2y2例1.已知P是椭圆2?2?1上的点，的纵坐标为，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距
3ab为c，则PF1?PF2的最大值与最小值之差为
x2y2例2.椭圆2?2?1(a?b?0)的四个顶点为A,B,C,D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭
ab圆的离心率为 ；
1x2y2??1的离心率为，则k? ； 例3.若椭圆
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x2y20例4.若P为椭圆2?2?1(a?b?0)上一点，且?PFF1、F2为其两个焦点，?PF2F1?750，1F2?15，
ab则椭圆的离心率为
题型五.求范围
x2y2例1.方程2??1焦点在x轴的椭圆，求实数m的取值范围； 2m(m?1)
题型六.求离心率
x2y2例1. 椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F1(?c,0)，A(?a,0)，B(0,b)是两个顶点，如果F1到直
abb线AB的距离为，则椭圆的离心率e?
7x2y2例2.若P为椭圆2?2?1(a?b?0)上一点，F1、F2为其两个焦点，且?PF1F2??，?PF2F1?2?，
ab则椭圆的离心率为
例3. F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P,Q两点，PF1?PQ，且PF1?PQ，则椭圆的离心率为 ；
练习
x2y21、（2010南京二模）以椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准
ab线交于A、B两点，已知?OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是 ；
x2y202、已知A B C分别为椭圆2?2?1(a?b?0)的右顶点、上顶点、和左焦点，若?ABC?90，则
ab该椭圆的离心率为 ；
x2y23a3、（2012年新课标）设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点,P为直线x?上一
2abE的离心率为 （ ） 点,?F2PF1是底角为30的等腰三角形,则
12??A． B． C． D．
23??
x2y24、椭圆2?2?1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等
ab比数列,则此椭圆的离心率为______
题型七.直线与椭圆的关系
（1）直线与椭圆的位置关系
例1. 当m为何值时，直线l:y?x?m与椭圆9x?16y?144相切、相交、相离？
222例2.曲线2x?y?2a（a?0）与连结A(?1,1)，B(2,3)的线段没有公共点，求a的取值范围。
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例3.过点P(?3, 0)作直线l与椭圆3x2?4y2?12相交于A,B两点，O为坐标原点，求?OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。
yAPBOx?例4.求直线xcos??ysin??2(0????)和椭圆x2?3y2?6有公共点时，的取值范围
（二）弦长问题
例1.已知椭圆x2?2y2?12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为
413，求点A的坐标。 3
例2.椭圆ax2?by2?1与直线x?y?1相交于A,B两点，C是AB的中点， 若|AB|?22，O为坐标原点，OC的斜率为
2，求a,b的值。 2x2y2??1的焦点分别是F1和F2，例3.椭圆过中心O作直线与椭圆交于A,B两点，若?ABF2的面积是452020，求直线方程。
（三）弦所在直线方程
x2y2??1，过点P(2,0)能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰好是P； 例1.已知椭圆
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例2.已知一直线与椭圆4x2?9y2?36相交于A,B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1)，求直线AB的方程；
例3. 椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e?2,过点C(?1,0)的直线l与椭圆E相交于A,B3两点，且C分有向线段AB的比为
（1）用直线l的斜率k(k?0)表示?OAB的面积； （2）当?OAB的面积最大时，求椭圆E的方程．
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