发布时间 : 星期四 文章2020年高考理科数学一轮总复习：正弦定理和余弦定理教师版更新完毕开始阅读d9467e51d05abe23482fb4daa58da0116d171f1e
31cos A＋22sin A131＝＝＋
sin A22·tan A. 31
∵0＜tan A＜3，∴tan A ＞3， c13c
∴a＞2＋2×3＝2，即a＞2.
π
答案：3 (2，＋∞)
数学运算——求三角形中最值问题的学科素养
求解三角形问题中最值问题成为一个亮点，综合性强，考查了学生综合运用知识的能力和数学运算、逻辑推理的学科素养． 一、求角的三角函数值的最值
[例1] 若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________． 解析：由sin A＋2sin B＝2sin C，结合正弦定理可得a＋2b＝2c，所以 a2＋b2－c23a2＋2b26－22cos C＝＝－≥，
2ab8ab44故cos C的最小值是
6－ 2
4
6－24.
答案：
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理以及不等式的知识，求解本题的关键是利用正弦定理将角转化为边，然后再利用余弦定理将cos C表示出来． 二、求边的最值
[例2] 在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________． BCABAC3
解析：因为sin A＝sin C＝sin B＝sin 60°，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A，因此AB＋2BC＝2sin C＋4sin A ?2π?
＝2sin?3－A?＋4sin A
??
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＝5sin A＋3cos A＝27sin(A＋φ)，
2π
因为φ∈(0,2π)，A∈(0，3)，所以AB＋2BC的最大值为27. 答案：2 7
点评：本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理以及辅助角公式；解此类问题的关键是能理解题目给定的含义并转化到三角形中，利用正弦定理、余弦定理求解．
三、求三角函数式的最值
[例3] 在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac. (1)求∠B的大小；
(2)求2cos A＋cos C的最大值．
a2＋c2－b22ac2
解析：(1)由余弦定理和已知条件可得cos B＝＝＝
2ac2ac2，
π
又因为0＜∠B＜π，所以∠B＝4.
3π
(2)由(1)∠A＋∠C＝4，
3π
所以2cos A＋cos C＝2 cos A＋cos(4－A)
22
＝2 cos A－2cos A＋2sin A 22π＝2cos A＋2sin A＝cos(A－4)．
3ππ
因为0＜∠A＜4，所以，当∠A＝4时，2cos A＋cos C取得最大值1.
点评：本题主要考查了余弦定理、三角形内角和定理、辅助角公式以及三角函数的最值；解此类问题的关键是熟练地运用余弦定理、两角差的余弦公式以及辅助角公式．
四、求三角形面积的最值
1
[例4] 若函数f(x)＝sin 2x－2且在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，
A
c，若f(2)＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．
A113
解析：由f(2)＝sin A－2＝0得sin A＝2，根据题意可知A为锐角，所以cos A＝2.
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3
把a＝1，cos A＝2代入a2＝b2＋c2－2bccos A得1＝b2＋c2－3bc，则有1＋3bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋3，当且仅当b＝c时等号成立． 1
因为sin A＝2，所以
1111
S△ABC＝2bcsin A＝2bc×2＝4bc， 又bc≤2＋3，所以S△ABC≤
2＋34. 2＋34. 所以，△ABC的面积的最大值为
点评：关键是根据A的余弦值及余弦定理变形确定出bc的最大值．为此用余弦定理，结合基本不等式解决． 五、求三角形周长的最值
[例5] 在△ABC中，cos C是方程2x2－3x－2＝0的一根． (1)求角C；
(2)当a＋b＝10时，求△ABC周长的最小值．
1
解析：(1)由2x2－3x－2＝0得x1＝2，x2＝－2，又cos C是方程2x2－3x－2＝0的12π
一个根，所以cos C＝－2，因此C＝3.
2π1
(2)由C＝3和余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·(－2)＝(a＋b)2－ab，所以c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75，
当a＝5时，c最小且c＝75＝53，此时a＋b＋c＝10＋53. 所以，△ABC的周长的最小值为10＋53.
点评：本题主要考查了余弦定理、一元二次方程的根；求解本题(1)的关键是结合三角函数的有界性得到cos C的值，求解本题(2)的关键是由余弦定理结合a＋b＝10，将c转化为a的表达式，进而配方.
课时规范练
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sin Acos B
1．在△ABC中，若a＝b，则B的值为( ) A．30° C．60°
B．45° D．90°
sin Acos B
解析：由正弦定理知，sin A＝sin B，∴sin B＝cos B，∴B＝45°. 答案：B
22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cos A＝3，则b＝( ) A.2 C．2
B.3 D．3
解析：由余弦定理，得4＋b2－2×2bcos A＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得1
b＝3或b＝－3(舍去)，故选D. 答案：D
3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( ) A．10 C．8
B．9 D．5
1
解析：化简23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos A＝5.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，代入数据，解方程，得b＝5. 答案：D
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A＋bsin B B．直角三角形 D．不确定 222 a＋b－c 解析：根据正弦定理可得a2＋b2 是钝角．即△ABC是钝角三角形． 答案：C π 5．(2019·长沙模拟)在△ABC中，A＝4，b2 sin C＝42sin B，则△ABC的面积为 第 12 页 共 14 页