发布时间 : 星期三 文章2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例（含解析）更新完毕开始阅读d94a5eb651e2524de518964bcf84b9d528ea2c90
[解析] 由|(a+b)·e|≤|a·e|+|b·e|≤,得|a+b|≤,即|a|+|b|+2a·b≤6,所以a·b≤,故a·b22
的最大值为. 【课前双基巩固】 知识聚焦
1.(1)|a||b|cos θ |a||b|cos θ 0 0·a=0 (2)①|a|cos θ(|b|cos θ) ②b在a的方向上的投影|b|cos θ (3)非零 a⊥b
2.①a·b=b·a ②λ(a·b) a·(λb) ③a·c+b·c
3.①|a|cos θ ②a·b=0 ③|a||b| -|a||b| |a| 2
④ ⑤≤
4. x1x2+y1y2 x1x2+y1y2=0
对点演练
1.-6 [解析] ∵a-b=(-2,2),∴a·(a-b)=-2×1+2×(-2)=-6.
2.60° [解析] 设向量a与b的夹角为θ.由a·b=[0°,180°],∴向量a与b的夹角为60°. 3.2
cos θ=×cos θ=,得cos θ=,又θ∈
[解析] |2a-b|====2.
4. [解析] 由单位向量e1,e2的夹角为45°,得e1·e2=1×1×cos 45°=.由e1⊥(λe2-e1)可得
e1·(λe2-e1)=0,即λe1·e2-=0,则λ-1=0,解得λ=.
5.北偏西30° [解析] 如图所示,设渡船速度为意知,∴,水流速度为,渡船实际垂直过江的速度为.依题
=12.5,|·
|=25.∵=+,∴·=·+.又∵⊥
=25×12.5cos(∠BOD+90°)+12.52=0,∴∠BOD=30°,∴渡船的航向为北偏西30°.
6.- [解析] 依题意有a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120°+1×1×cos 120°+1×1×cos
120°=++=-.本题在计算时,容易把向量夹角取作60°而致误.
7. [解析] 因为点C(-1,0),D(4,5),所以=(5,5),又=(2,1),所以向量在方向上的投影为
||cos<,>===.
8.菱形 [解析] 由四边形ABCD满足·
+=0知,四边形ABCD为平行四边形,又(-)·=0,即
=0,可知该平行四边形的对角线互相垂直,故该四边形一定是菱形.
【课堂考点探究】
例1 [思路点拨] (1)利用向量的数量积公式建立关于x的方程求解;(2)根据条件以正三角形的边BC所在直线为x轴,垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,然后写出相关点的坐标,确定出向量后利用向量的数量积公式求解.
,
的坐标,最
(1)3 (2)- [解析] (1)因为a·b=6-x=3,所以x=3.
(2)由题意建立如图所示的平面直角坐标系.因为△ABC的边长为1,所以A0,,B-,0.因为=2,
所以点D为BC的中点,则D(0,0).因为=2,所以点E为AC的三等分点,则E,,所以
·=0,-·,=-×=-.
变式题 (1)A (2)- [解析] (1)因为菱形ABCD的边长为2,∠B=,所以·
·=2×2cos=2,所以-]=(1-λ)|=(+)·(-)=(+)·(--)=(+)·[(λ-1)|2-·+(1-λ)·-||2=(1-λ)×4-2+2(1-λ)-4=-6λ=-3,所以λ=,故选A.
(2)由题意可得|a-b|====7,∴a·b=-.
例2 [思路点拨] (1)首先利用向量平行的条件求得参数m的值,然后利用模的坐标公式求解;(2)由
||2=(λ+μ)建立|2
|2关于λ的函数,求其最值即可.
(1)D (2)D [解析] (1)∵a∥b,∴m+6=0,解得m=-6,则
b=(2,-6),∴a-2b=(-3,9),∴|a-2b|==3,故选D.
(2)||2=(λ+μ)=[λ
2
+(1-λ)]=4λ+4(1-λ)+2λ(1-λ)
222
·,∵·=2,∴||2=4λ+4(1-λ)+2λ(1-λ)·2=4λ-4λ+4=4λ-2222
+3,当λ=时,||取得最小值.
例3 [思路点拨] (1)求出a+b,然后通过向量的数量积求解即可;(2)先求出a+b,再利用向量垂直的条件列出关于m的方程求解;(3)由已知可得<量的运算法则及
·
,
>=60°,再求出·,·,·的值,结合平面向
=0求得λ的值.
(1)C (2)B (3)故选C.
[解析] (1)向量a=(2,-1),b=(1,7),则a+b=(3,6).∵a·(a+b)=6-6=0,∴a⊥(a+b).(2)由题意可得a+b=(7,m-2),结合向量垂直的充要条件得7×2+(m-2)×(-2)=0,解得m=9.故选B. (3)由AB=4,BC=CD=2,可得<,
>=60°,则
·=4×2×=4,·=4×2×=-4,·=2×2×=2.∵==λ,∴=λ,=λ,则
=+=+λ,=-=λ-,∴·=(+λ)·(λ-)=λ||2-·+λ
2
·-λ·
=0,即16λ-4-4λ2-2λ=0,∴2λ2-7λ+2=0,解得λ=(舍)或λ=.
例4 [思路点拨] (1)利用两个向量的数量积的定义和两个向量坐标形式的运算法则,求得cos θ=的
值,进而可得θ的值.(2)利用两个向量的数量积的定义和两个向量的数量积公式,求得m的值.(3)根据题意利用夹角公式列出关于m的方程求解. (1)B (2)
(3)3 [解析] (1)设a与a+b的夹角为θ.∵向量
a=(1,0),b=-,,∴a+b=,,∴a·(a+b)=(1,0)·,=,则cos θ===,由θ∈[0,π]
可得θ=,故选B.
(2)∵a=(m,3),b=(,1),向量a,b的夹角为30°,∴a·b=m+3=×2cos 30°,解得m=.
(3)依题意有c=(m+6,2m+3),根据夹角公式有强化演练
1.C [解析] 由题意得|a-b|==,解得m=3.
==,故选C.
2.B [解析] cos
3.- [解析] 因为|a|=1,|b|=2,a+b=(1,),所以(a+b)=1+4+2×1×2cos θ=4?cos θ=-,则sin
2
θ=,所以tan θ=-.
4.-1 [解析] ∵=λ+,⊥,∴·=(λ+)·=λ·+=λ×2×1×cos
60°+1=λ+1=0,∴λ=-1.
5.5 [解析] 以D为原点,DA,DC所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示.设CD=a,P(0,y),
可得