发布时间 : 星期五 文章二次互反律更新完毕开始阅读d96818ed81c758f5f61f67c1
二次互反律
在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程
x2?p ?modq?之整数解的存在性的定律。二次互反律揭示了方程x2?p ?modq?可解和 x2?p ?modq?可解的简单关系。运用二次互反律可以将模数较大的二次剩余判别问题转为模数较小的判
别问题，并最后归结为较少的几个情况，从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。然而，二次互反律只能提供二次剩余的存在性，对于二次同余方程的具体求解并没有实际帮助。
二次互反律常用勒让德符号表述：对于两个奇素数p和q，
其中
欧拉和勒让德都曾经提出过二次互反律的猜想。但第一个严格的证明是由高斯在1796年作出的，随后他又发现了另外七个不同的证明[1]。在《算数研究》一书和相关论文中，高斯将其称为“基石”。私下里高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石，是一个黄金定律[2]。
高斯之后雅可比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛贝尼乌斯等也相继给出了新的证明。至今，二次互反律已有超过200个不同的的证明。二次互反律可以推广到更高次的情况，如三次互反律等等。
是勒让德符号。但是对于更一般的雅可比符号和希尔伯特符号也有对应的二次互反律。
相关术语
一个整数a是模整数n的二次剩余，是指它与某个整数的平方关于模n同余。直观来说，是指二次同余方程x2?a ?modn?有整数解。如果这样的整数解不存在，则称a是模整数n的二次非剩余。术语中的“二次”一词是为了表示平方同余，在不至于混淆的行文中，可以略掉。当模数是质数时，通常将0的情况区别讨论，因此有：
在模为质数时，二次剩余与二次非剩余的个数是相等的。
在模为质数时，剩余与剩余、非剩余与非剩余的乘积都是剩余，剩余与非剩余的乘积是非剩余。
几个简单情况
有了上节的关于乘积的性质，可以发现：研究一个合数是否是模某个质数p的剩余，只需将这个合数进行质因数分解，研究其每个质因数是不是模p的剩余即可。因此，为了寻找模质数的二次剩余的规律，可以先研究对于前几个质数2、3、5等的情况，看对于什么样的质数p，2、3、5等是模它们的剩余。此外为了
研究正负号对乘积的影响，也要研究-1的情况。为了发现规律，可以借助50以内的质数的二次剩余表。
[编辑] 50以内的质数的二次剩余表
下表列出了1至25模50以内的质数的二次剩余。其中每一行列出了模相应质数的所有剩余。因此要看某个整数 k 是否是模某个质数 p 的剩余，只需要看 k 是否在模 p 的那一行中出现就行了。
例如，要检查7是不是模37的剩余，可以查看7是否出现在模37的一行中。实际上7出现在左数第9个格子里，因此7是模37的二次剩余。 又如，要检查7是不是模43的剩余，可以查看7是否出现在模43的一行中。实际上这一行中并没有7出现，因此7是模43的二次非剩余。
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
n2 1 4 9
123468101214161922252832364044485257626 5 6 9 4 1 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 1 4 9 6 5
mo
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 d 3
mo
1 4 4 1 0 1 4 4 1 0 1 4 4 1 0 1 4 4 1 0 1 4 4 1 0 d 5
mo
1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 2 d 7
mo
d 1 4 9 5 3 3 5 9 4 1 0 1 4 9 5 3 3 5 9 4 1 0 1 4 9 11
mo
1111
d 1 4 9 3 3 9 4 1 0 1 4 9 3 12 10 10 12 3 9 4 1
2 0 0 2
13
mo
1111
d 1 4 9 8 2 15 2 8 16 9 4 1 0 1 4 9 16 8 2 15 13
6 5 3 3
17
mo
111
d 1 4 9 6 7 5 5 7 11 17 6 16 9 4 1 0 1 4 9 16 6 17
6 7 1
19
mo
1111
d 1 4 9 2 3 8 6 6 8 12 18 3 13 2 16 9 4 1 0 1 4
6 3 8 2
23
mo
1222
d 1 4 9 7 6 13 5 28 24 22 22 24 28 5 13 23 6 20 7 25 16
6 5 0 3
29
mo
1211
d 1 4 9 5 2 7 28 20 14 10 8 8 10 14 20 28 7 19 2 18 5
6 5 8 9
31
mo
12312
d 1 4 9 7 26 20 33 21 11 3 34 30 28 28 30 34 3 11 21 33
6 5 6 2 7
37
mo
12324
d 1 4 9 8 18 39 21 5 32 20 10 2 37 33 31 31 33 37 2 10
6 5 6 3 0
41
mo
12323
d 1 4 9 6 14 35 15 40 24 10 41 31 23 17 13 11 11 13 17 23
6 5 6 1 8
43
mo12313d 1 4 9 2 6 27 3 28 8 37 21 7 42 32 24 18 14 12 12 14 6 5 6 7 4 47 [编辑] –1的情况
首先，看看对于什么样的质数，–1是模它的二次剩余。查对上表后可以发现：–1对于模5,13,17,29,37是二次剩余，而对3,7,11,19,23,31,43则不是。比如： –1 ≡ 2 (mod 3)，–1 ≡ 4 (mod 5)，–1 ≡ 10 (mod 11)，等等。 可以发现前者都是模4余1的质数，后者都是模4余3的质数。于是可以猜想：
同余方程
[编辑] 2的情况
有解当且仅当 。
接下来看对什么样的质数，2是模它的二次剩余。同样查对上表后可以发现：对于模8余±1的质数，如7,17,23,31,41,47，2是模它的二次剩余。对于模8余±3的质数如3,5,11,13,19,29,37 等则不然。
[编辑] 3的情况
3是模11、13、23、37和47的剩余，但不是模5、7、17、19、29、31、41或43的剩余。
前者模12都余±1，后者都模12余±5。
–3是模7、13、19、31、37和43的剩余，但不是模5、11、17、23、29、41或47的剩余，前者模3都余1，后者模3都余2。