发布时间 : 星期四 文章内生增长理论更新完毕开始阅读d9d33d800166f5335a8102d276a20029bd6463ea
像是我们将在下一节中介绍的技术进步的一种替代。为更好地阐述具有人力资本的增长理论，我们首先介绍一个单部门的人力资本模型，然后再简要介绍卢卡斯在1988年发表的着名模型。
假定生产函数是Cobb-Douglas型的：
Y?AK?H1??，0???1
其中H表示生产中的人力资本投入。经济的产出有三种用途：消费C、物资资本的投资IK，以及人力资本的投资IH。于是，经济所面临的资源约束为：
我们假定物资资本和人力资本以相同的速度??0折旧。于是，这两种资本的积累规律为：
??I??K，H??I??H KKH 假定家庭具有通常的跨期可分形式的效用函数，在中央集权经济制度的规定下，最优化问题的Hamilton函数为：
利用最大值原理，我们得到优化问题的一阶必要条件： 这些必要条件再加上对应于不同边界条件的横截性条件，我们就可以确定出最优的消费路径、物资资本积累路径和人力资本积累路径。同时，我们也可以利用这些必要条件计算出模型的稳态增长率。为了得到具体形式的解，我们取效用函数为CIES的形式：
u?C??C1???1/?1???，??0
??则由上述一阶条件可得： 于是 因此，
这意味着物质资本和人力资本的净报酬率在?K/H?保持不变时是一个常数，也就是说当K和
H以相同的速度增长时，递减报酬不再使用。于是，我们得到了稳态的增长率： 在上述表达式中，如果各种参数选择适当，就可以得到一个正的增长率。
关于原始的Lucas(1988)模型，我们可简单介绍如下：
??t??AK?t???u?t?h?t?N?t??1??h?t?? s.t. N?t?c?t??Ka其中??0，即生产函数呈现出报酬递增的性质，而且人力资本通过教育部门的生产是密集于人力资本的。
利用最大值原理，卢卡斯得出了此模型丰富的动态特征，并证明了在一定条件下可得到内生增长。5其中的关键性结论是，物质资本和人力资本之间的不平衡对于增长率的影响是不对称的：如果人力资本相对丰富，则产出和消费的增长率会随着人力和物质资本之间的不平衡程度的加大而上升；如果人力资本相对稀缺，则它们就会随着不平衡程度的加大而下降。这一结论和具有物质和人力资本的单部门内生增长模型的结论是不同的，在那里，物质和人力资本的不平衡对于增长率的影响是对称的。
产生上述性质的原因是关于人力资本生产技术的特殊假定，即人力资本的生产是密集于人力资本的。例如，当人力资本相对稀缺时，则在物资资本的生产过程中，人力资本的边际产品就要相对地高，因而可以预期经济增长的发生主要是由于人力资本的高增长率；但是，宇泽-卢卡斯模型中的人力资本相对稀缺也意味着一个较高的工资率水平，这就使得人力资本 5
模型的具体推导可参阅Lucas(1988).
生产部门的经营成本较高，这一较高的成本刺激人们把人力资本更多投入于物资资本的生产，而不是原本就相对稀缺的人力资本的生产，这种效应最终会延缓经济的增长率。
需要指出的是，Romer(1986)模型和Lucas(1988)模型产生内生增长的机制是不一样的。在罗默模型中，由于知识的积累存在外溢效应，这使得知识资本的平均产品不再递减，从而克服了资本的报酬递减趋势，长期的人均正增长得以实现；而宇泽-卢卡斯模型是一般的具有人力资本的内生增长模型的一种特殊形式，一般来说，在具有人力资本的模型中产生内生增长的主要原因是，资本的报酬率依赖于物资资本存量和人力资本存量的比例，而当这两种资本以相同的速度增长时，递减报酬就不再适用，从而稳态的正增长得以实现。在宇泽-卢卡斯模型中，物资资本和人力资本由不同的技术所生产，并且人力资本的生产是密集于人力资本的，对于生产结构的这一修正会使得此模型表现出比一般的人力资本模型更丰富的动态特征，具体来说，物资资本和人力资本的不平衡在宇泽-卢卡斯模型中对于增长率的影响是不对称的。
第二节 内生技术进步
我们已经看到，既使在缺乏技术进步的情况下，只要能够消除掉模型中的资本报酬递减趋势，就可以得到内生的正增长。因此，上一节中的内生增长是由外部经济或物质资本存量和人力资本存量之间比例的变化产生的，并不需要真正地将技术进步引入增长模型，尽管这些模型也常常被称为是实现了技术进步的内生化。真正地将内生技术进步引入增长模型的奠基性工作是Romer(1987,1990)，Aghion and Howitt(1992)以及Grossman and Helpman(1991)，在他们的模型中，技术进步是有目的的科学研究活动的结果，并且由于赋予了知识这种物品既不同于普通物品也不同于公共物品的特殊特征，其报酬将不符合完全竞争经济中作为价格接受者的厂商的行为假定，而是具有了一定的垄断权力，由此获得的垄断利润可以作为对科研活动的激励。
Romer(1990)主要讨论的是产品种类的增加对于增长的影响。在他的模型中，新产品的开发类似于基础创新的活动，其中所需的知识是一类特殊的物品，既不同于普通的物品，也不同于公共物品。一般来说，普通物品是竞争性的 （Rivalry），并且也是排他性的（Excludability）；公共物品一般是非竞争性的，并且也是非排他性的。而Romer(1990)认为，对于经济增长最有意义的情形，也是最能体现技术进步特征的知识物品却一般是非竞争性，并同时具有一定排他性的。
如果我们将罗默模型所描述的产品种类增加型的技术进步称为水平方向的创新
（Horizontal Innovation）的话，则Aghion-Howitt模型所定义的技术进步类型则可称为垂直方向的创新(Vertical Innovation)，这种类型的技术进步描述的不是新产品的开发，而是已有产品的质量的不断改进。
基于熊彼特提出的“破坏性创新”的思想，Aghion and Howitt(1992)构造了一个内生增长模型，其中的增长源泉正是垂直方向的创新，而这种创新是由竞争性的研究部门提供的。在任一时期当中，研究活动的数量取决于下一时期当中研究活动的期望数量，这是因为下一次创新会导致当前垄断利润的完全丧失，而下一次创新的成功概率的大小取决于研究活动的多少，因此，期望的将来的研究活动越多，从事当前的研究活动的积极性就越低。在
Aghion-Howitt模型中，经济的产出取决于整个经济范围内研究活动的数量，具体的说，GNP服从一具有漂移项的随机游走。而作为一随机变量的增长率本身，其均值和方差都是关于创新规模、技术型劳动的规模以及研究活动的生产率的递增函数；都是关于代表性个体的时间偏好率的递减函数。
一、 产品种类增加型的技术进步 （1） 一个简单形式6
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本节内容主要参考Aghion and Howitt (2009) . Economics of Growth. MIT Press.
假定人口的数量L固定，每一个体都是无限生存的，并且拥有一单位的可用于制造业的劳动。为简单起见，我们假定没有对于闲暇的需求，从而每一个人都无弹性地提供她所拥有的一单位劳动（无论工资率如何）。个体每一期的效用只依赖于消费，效用函数取等弹性的形式： 个体使用不变的时间偏好率ρ来贴现效用。正如我们在第1章中看到的，这意味着稳态的增长率和利息率遵循如下欧拉方程：
最终产品的生产环境是完全竞争的，使用劳动以及一系列指标为 的中间品投入，其中Mt是产品种类的度量。在每一时刻t，最终产品的生产函数为：
其中Yt表示产出，xi表示中间品i投入的数量。劳动投入始终是不变的数量L。系数α位于0和1之间。
每一种中间产品都需要最终产品作为投入且一比一地生产出来。也就是说，生产一单位的中间产品i需要一单位的最终产品作为投入。
产品的种类数可以提高经济整体的生产率。为了说明这一机制，记用于中间品生产的最终产品的数量为Xt。按照前面提到的一比一的技术，X t必定等于所有的中间品数量： 现在假定每一种中间品都生产相同的数量x（稍后将看到，在均衡时确实如此），则x=Xt/Mt。将这一表达式代入生产函数可得：
在给定L和Xt的条件下，上式关于Mt是递增的：
最终产品可用于消费和投资（生产各种设计）。除此之外，其唯一的用途就是生产中间品。因此，经济的国内生产总值（GDP）就是最终产品Yt减去其用于生产中间品的数量：
每一种中间产品都由其发明者垄断地进行生产。在每一期中，此垄断者最大化以最终产品度量的如下利润流：
其中pi是以最终产品为单位的价格。也就是说，在给定一比一技术的条件下，垄断者的收益就是价格乘以数量，而成本就等于产出。
在完全竞争的经济中，一单位投入的价格等于其边际产品的价值，于是我们有： 因此，垄断者的利润依赖于其产出：
垄断者选择xi来最大化上述表达式，其一阶条件为： 由此得到，每一部门i的均衡数量都是一样的： 进而每一部门的均衡利润流也是一样的：
将Xt=Mtx代入生产函数，然后再由GDP的定义式可知，最终产品的产出以及经济的GDP都是和产品种类数成比例的：
于是，GDP的增长率和如下产品种类数的增长率也是成比例的：
产品种类数的增长率依赖于投入到科研中的最终产品数量。也就是说，科研活动的每一时刻的产出就是新设计的数量，而每一个新的设计都可以开发出一种新产品。因此，我们有： 其中λ是表示研究部门生产率的一个（正的）参数。
假定经济的研究部门是完全竞争的，允许自由进入，则研究部门的利润流必定等于零。对于发明者而言，每一新设计的价值为 ，即利润流 在市场利率为r时的贴现值。于是，从事科研的利润流为：
即收益流（产出λRt乘以价格 ）减去成本。为使得这一利润流为零，利率必须满足如下的“科研套利”方程：
也就是说，利率必须等于企业家每一单位的科研投入所获得的利润流。
将科研套利方程代入增长率的表达式，我们得到：
用表达式（3.7）替换上式中的 ，我们就可将均衡增长率表示成模型的基本参数的函数： 由此可知，经济增长率随着参数λ表示的科研生产率的增加而增加，随着劳动供给L表示的经济规模的增加而增加，随着时间偏好率ρ的增加而下降。
g关于L递增的这一预测曾经被认为是上述模型的优点，它表明，规模越大的国家或自由贸易区，增长得越快。但是， C. Jones(1995b)指出，这一预测是不符合事实的，因为自1950年以来，美国的研究人员数量显着地增加了，而这一时期的增长率却保持在2%左右。 （2） Romer(1990)的模型*
假定经济中具有四种基本的要素投入：物资资本、劳动、人力资本和表示当前技术水平的一种指标（我们可称之为技术方案集）；经济由三个部门组成：研究部门、中间产品的生产部门和最终产品的生产部门。研究部门利用人力资本以及现有的知识水平来生产（发明）出新的知识（技术方案）；中间产品的生产部门利用研究部门发明的技术方案以及最终的产出作为投入，以生产出更多的中间物品；最终产品的生产部门则利用劳动、人力资本以及相应的中间物品来生产出最终的产品。假定最终的产品既可以消费掉，也可以作为资本来积累。
首先，罗默假定Cobb-Douglas型的生产函数： 其中HY,L,x分别表示生产过程中所需的人力资本，劳动以及资本品（中间产品）；A是可以使用的中间产品的种类，用来表示当前的技术水平。注意，这里关于资本品的假定和我们前面使用过的略有不同。如果我们使用总资本K来表示资本投入的话，则意味着所有不同类型的资本品之间是完全替代的；而上述关于资本投入的加性可分形式则意味着某一资本品的边际产品是独立于其他资本品的使用量的，因而一种新型资本品的引入既不是对旧品种的直接替代，也不是直接互补。
由生产函数关于要素投入的一次齐次性可知，我们仍然可以在完全竞争的框架内来讨论最终产品的生产者的行为，也就是说，我们仍然可以将整个最终产品的生产行业想象为一个代表性的作为价格接受者的厂商。这一特点是和中间产品的生产厂商的行为很不一样的，由于不同的中间产品是由不同的厂商来承担的，因此不存在一个可以代表整个行业的中间产品的生产者。
对于拥有了新的中间产品的设计方案的企业来说，假定需要投入?单位的最终产品才能生产出一个单位的中间产品；而对于设计方案的发明者来说，假定其拥有对发明的永久专利。因此，当设计方案的发明者同时也是相应的中间产品的生产者的话（对于发明者和生产者之间的关系也存在一些其他的制度安排，但是不影响此模型的均衡的存在性），则对于已经投入了发明成本的发明者来说，它所获得的补偿就是租售中间产品所获得的净收益流的贴现值。 按照通常的单部门模型以及国民收入核算的传统，总资本K的积累满足： 其中C?t?表示总消费。我们已经假定为获得一单位任何类型的中间产品，必须放弃?单位的当前消费，从而
其中x表示某一公共使用水平，这是因为每一中间产品都是对称进入生产过程的，从而对于每一中间产品的可获得量来说，应该是相等的。 于是，生产函数可改写成：
此外，假定知识的积累（技术进步）具有如下形式： 其中??0。上式表明，人力资本的投入HA越高，则研究与发展活动的成功机会也就越大，并且这里的假定和宇泽-卢卡斯模型中假定类似，即知识的生产是人力资本密集的；同时，由于知识的非竞争性，每一个研究者都可以利用当前的知识水平，从而当前的知识水平A越高，技术进步的成功率也就越大。
需要指出的是，至此模型所刻画的知识类型恰好符合了前面所要求的部分排他性，即知识在研究部门当中是一种公共品，而在中间产品的生产部门当中则是一种垄断品。 最后，假定人力资本的供给H是固定的，满足：