发布时间 : 星期四 文章内生增长理论更新完毕开始阅读d9d33d800166f5335a8102d276a20029bd6463ea
在前两节的内容中，总是假定劳动力供给或人口的变化是外生给定的，这是对现实生活的一种简化。实际的情况是，一个国家或一个地区的人口或实际的劳动力供给数量的确定既使在统计手段相对发达的今天，仍然是一个困难的课题。一般来说，劳动力会受工资率的地区差异的驱使而在不同地区之间流动，这也是造成流动人口数量很难统计的原因之一；而人口的自然增长也会由于经济福利的提高或自然灾害的发生所导致的死亡率的下降或人们偏好的变化所导致的出生率波动而经常地发生变化。如何将这些因素整合进增长模型是近些年来经济学家才才开始关注的论题，本节将要介绍的两个主要模型，即Braun模型和Barro-Becker模型，试图讨论的正是不同地区之间的劳动力迁移和人们的生育选择对于经济增长的影响。 一、 劳动力的迁移
尽管不同的国家或地区之间的人口流动实际上是一个受到很多因素影响的复杂现象，但是我们这里所要讨论的Braun模型假定存在一个完全的信贷市场，各个经济所面临的是不变的世界利率，从而工资的差异是造成劳动力流动的唯一原因。
下面我们来具体地描述这个模型。假定一面临着给定的不变世界利率的小国经济，其生产函数是Cobb-Douglas的：
??Lext表示有效的劳动投入，L其中K表示资本，x?0是外生给定的劳动增进型技术进步率；
R表示本国居民可以自由取得但其供给量固定的自然资源；0???1??。
我们注意到，对于给定的R，上述生产函数呈现出关于K和L的报酬递减。Braun模型之所以做出这样的假定是因为，在外生给定的技术水平下，若人口的迁移有成本而资本的流动是自由的话，劳动力将不可能在不同的经济之间流动，从而也就不可能构造出其中人口变化内生的增长模型。关于这种报酬递减的一种解释是：一个经济的人口增加必定会造成某些自然资源（例如土地等）使用上的拥挤，如果这种资源具有生产价值并且供给量固定的话，则从整个社会的角度来看，必定呈现出对于资本和劳动的规模报酬递减。
但是，对于一个竞争性的厂商来说，L表示的是总人口，因此R/L可视为是给定的，从而上述生产函数仍然可以看作是规模报酬不变的，利用Euler定理，要素价格应当等于相应的私人边际产品，即：
??K/L?，表示每单位有效劳动的资本数量；r表示世界利率，对于我们这里所考虑的其中k小型国内经济而言可视为不变的，并假定r?x；?是折旧率。 由此可得国内工资率的表达式：
假定世界经济具有单一的工资率wworld，则在时刻t由世界其他地区向本国经济的一次永久性迁移的收益为： 为简单起见，我们假定t时刻国内经济的自然人口增长率为零，而由世界转向国内经济的移民流为M?t?，则国内的实际人口变化率为： 另外，假定迁移的成本为：
这里???0，????0，且??0??0。也就是说，迁移的成本随着移民数目的增加而加速上升。 最后，系统的稳态要求在每一时期当中，迁移的成本必须等于迁移的收益，即：
?的二元微分系统描 经过一些简单的整理可知，上述模型的动态由下面的关于变量L和B述：
??t??B?t?e?xt，w?world?wworlde?xt，我们假定世界经济处于稳态当中，则??t??w?t?e?xt，w其中B??是一鞍点。 ?world可视为常数；函数?是函数?的逆函数。由此微分系统确定的稳态L?,Bw?? 至于产出的增长，利用生产函数的表达式可得：
?。从而 ??Y/L其中y在稳态中，?L?0，从而?y??0，也就是说，总产出的增长率为：
上述表达式和索洛模型中相应表达式的重要区别是，这里的人口增长率?L是由模型内生决定的，取决于迁移所带来的收益和世界的工资水平之比。 二、 人口的内生决定
（1） 马尔萨斯模型
考虑时间离散的OLG模型，t=0,1,2,…。经济中存在两种要素：土地和劳动。土地的数量是固定的，而劳动的数量由内生变化的人口决定。
经济的生产技术遵循如下的方程： 其中Yt表示t期的总产出，A表示经济的技术水平，X表示土地的数量，Lt表示t期的工作人口数量。于是，按每工人平均的产出水平为：
经济中的每一个体只生存两期：儿童期与成年期。在儿童期中，个体消费来自于父母的固定数量的资源，记为?；在成年期中，个体无弹性地提供一个单位的劳动，获得收入yt，然后在自身的消费ct和后代的抚养?nt之间进行分配，这里的nt表示个体选择的后代数量。假定t期的成年人（出生于t-1期）的偏好为： 于是，t期的成年人面临的优化问题是：
s.t.
?nt?ct?yt
求解上述问题得到：
ct??1???yt，nt???/??yt
工作人口的动态行为遵循如下方程： 由此可得人口的稳态值为：L*?AX??/??方程：
由此可得收入的稳态值为：y*??/?。
上述两个动态方程描述的人口和收入的动态特征如下图所示： 图2-1 马尔萨斯模型的动态 综上所述，马尔萨斯模型的核心结论是：人均收入的增长与人口规模的增长是正相关的，即当人均收入水平由于技术的进步或者新资源的发现而有所增加时，伴之而来的却是人口数量的增加，这又倾向于降低人均收入水平。因此，从长期来看，人均收入水平大致是不变的，技术进步并不能带来生活水平的提高，这就是所谓的“马尔萨斯陷阱(Malthusian Trap)”。
1/?；每工人平均的产出（收入）则遵循如下的动态
在这一简单版本的模型中，并未出现资本这一生产要素，尽管这可能符合马尔萨斯所生存的年代，但是一定不是现代生产的典型特征，因此这一模型也不是现代经济增长理论的典型形式，我们有必要在现代增长理论的框架内继续讨论人口的内生变化。
（2） 增长模型中的内生生育率*
经验证据表明，自然的人口增长率和人均收入、工资率、两性的教育水平以及城市化等经济变量之间有着重要的联系。但是，在Barro & Becker（1989）的生育选择模型出现之前，现代增长经济学的文献一直将人口的增长看作是外生的，Barro和Becker构造了第一个将人口变量内生化的增长模型，试图将生育选择分析整合进新古典增长理论，在他们的模型中，父母和孩子通过利他主义联系到一块，家庭的生育变量和消费、资本积累以及代际间的转移一样，是最优化选择的结果。
下面我们来具体描述这个模型。假设经济中的每一个体只生存两期：儿童期和成年期；并且一个家庭中小孩的出现总是在其父母的成年期开始时。利他主义的父母的效用不仅仅取决于其自身的消费，也可分地取决于其后代的数量以及每一后代的效用。具体地说，假定第i代的一个代表性成年人的效用函数为：
其中ci表示成年人自身的消费，v?ci?是此项消费所带来的效用，ni表示孩子的数量，a?ni?是一度量父母利他主义程度的函数，Ui?1表示每一孩子的效用。 假定函数a?n?是常弹性的：
a?n???n??，0???1，0???1 则我们可得到下面的家族(Dynastic)效用函数：
其中Ni??nj，i?1,2,...，(假定N0?1)表示此家族在第i代中的后代数量。注意，这里的
j?0i?1常数?具有和通常的跨期可分效用函数中的时间偏好因子同样的作用。 第i代中的一个代表性成年人所面临的预算约束为：
其中wi表示工资率（我们假定每一成年人在每一期当中的总支配时间为一个单位，因而工资率也就是劳动收入）；ki表示在每一孩子的成年期开始时，他所获得的来自父母遗赠的资本，其收益率为ri（我们假定资本的折旧率为零）；?i表示每一个孩子的抚养成本。
由此可得家族的创始人所面临的优化问题（由于家族的创始人及其每一后代所面临的优化问题是同一形式的，因此每一后代的最优选择和由家族的创始人最初所做出的最优选择是一致的）：
在这个优化问题中，状态变量是k，控制变量是c和n。利用动态规划中的Bellman原理，可得到如下的一阶条件：
(1) v??ci?/v??ci?1????1?ri?1?/ni
? (2) v?ci??1????v??ci??ci/v??ci????v??ci???i?1?1?ri??wi?
条件(1)是不同时期消费之间的跨期替代条件的一个修正版本。一般来说，消费的跨期替代取决于个人的时间偏好（即等待将来消费的耐心程度）和利息率的大小。而在Barro-Becker模型中，生育数量n的增加会降低每一后代所获得的来自父母的好处，从而会提高将来消费的贴
现率。因此，在上述修正版本的跨期替代条件中，较高的生育率会造成将来消费的相对减少。条件(2)是家庭中每增加一个小孩所带来的边际收益和所导致的边际成本之间的一个平衡条件。其中??i?1?1?ri??wi?项表示的恰好是在第i代中增加一个成年人所引致的净成本。 利用一阶条件(2)，我们可计算出最优的消费路径。如果函数v???取常弹性的形式： v?ci??ci，??1
?则可得到最优消费的显式表达式：
? (3) ci???i?1?1?ri??wi?
1????上式表明，后代的增加所导致的净成本的增加会带来这一后代人的人均消费的增长，也就是说，如果人口是以更高的成本生产出来的话，则给这些新增人口赋予更多的消费是最优的选择。这是所谓的“利用率(Utilization Rate)效应”，即高成本生产出来的物品应该具有更高的利用率(现在是在更高消费的意义上)。(3)式也表明，只有当人口的创造成本发生变化时，不同时期中的人均消费水平才会发生变化，如果人口的创造成本保持不变的话，则不同时期中的人均消费水平是一样的。这一性质和通常的优化模型中的最优消费路径是不一样的，在通常的模型中，消费水平的变化是由于偏好率和利息率之间的差异。 利用(1)式和(3)式还可得到最优的生育率水平：
由此可知，如果人口的创造成本保持不变的话，则生育率只取决于利息率水平和利他主义程度。
以上我们描述的是经济中的家庭行为，为得到一般均衡，还需在经济中引入典型企业的最优行为。为此我们假定下述规模报酬不变且具有Harrod中性技术进步的生产函数： 其中Yi表示产出，Ki表示资本(即第i代开始前所积累的物品)，Li表示劳动投入，g是外生的技术进步率。上式也可写成集约的形式：
?，f??0，f???0 ?i?fk yi??K/?1?g?iL，fk??F?K,1?。利用Euler定理，完全竞争市场?i?Yi/?1?g?iLi，k其中yiiiii中的利润最大化厂商遵循下式：
???????????，w?fk??k?f?k??1?g?i ri?f?kiiiii 假定孩子的抚养成本?i既包括时间的投入，也包括物品的投入。具体地说，抚养成本函数具有如下形式：
?i?a?1?g??bwi，a?0，0?b?1
i?????? 我们也可定义每单位有效劳动的工资率和抚养孩子的有效成本如下：
由此可知，用于生产的时间为：
从而，代表性成年人的预算约束需修正为：
?i?ci/?1?g?。前面的(3)式也相应修正为： 其中ci而最优的生育率则为：
在知道了控制变量c和n的最优路径后，我们可得到状态变量k的动态方程：