发布时间 : 星期六 文章2013届高考数学第一轮专项复习教案2更新完毕开始阅读dac31adfcc2f0066f5335a8102d276a200296099
13.2导数的应用
●知识梳理
1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤. （1）求f?（x）.
（2）确定f?（x）在（a，b）内符号.
（3）若f?（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数； 若f?（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数. 2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤. （1）求f?（x）.
（2）f?（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
f?（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.
●点击双基
1.函数y=x2（x－3）的减区间是 A.（－∞，0） B.（2，+∞） C.（0，2） D.（－2，2） 解析：y′=3x2－6x，由y′<0，得0 2.函数f（x）=ax2－b在（－∞，0）内是减函数，则a、b应满足 A.a<0且b=0 B.a>0且b∈R C.a<0且b≠0 D.a<0且b∈R 解析：f?（x）=2ax，x<0且f?（x）<0， ∴a>0且b∈R. 答案：B 3.已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］ A.在（－2，0）上递增 B.在（0，2）上递增 C.在（－2，0）上递增 D.在（0，2）上递增 解析：F（x）=f［g（x）］=x4－4x2+6，F?（x）=4x3－8x， 令F?（x）>0，得－2 4.在（a，b）内f?（x）>0是f（x）在（a，b）内单调递增的________条件. 解析：∵在（a，b）内，f（x）>0，∴f（x）在（a，b）内单调递增. 答案：充分 ●典例剖析 【例1】设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间. 剖析：由已知x=1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b. 解：f?（x）=3x2－6ax+2b，由题意知 2??3?1?6a?1?2b?0, ?32??1?3a?1?2b?1??1,?3?6a?2b?0,即? 2?3a?2b?0.?解之得a=，b=－ 131. 213此时f（x）=x3－x2－x，f?（x）=3x2－2x－1=3（x+）（x－1）. 当f?（x）>0时，x>1或x<－， 当f?（x）<0时，－ ∴函数f（x）的单调增区间为（－∞，－）和（1，+∞），减区间为（－，1）. 评述：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点. 【例2】（2004年全国，19）已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围. 剖析：在R上为减函数，则导函数在R上恒负. 解：f?（x）=3ax2+6x－1. （1）当f?（x）<0时，f（x）为减函数. 3ax2+6x－1<0（x∈R），a<0时，Δ=36+12a<0，∴a<－3. ∴a<－3时，f?（x）<0，f（x）在R上是减函数. （2）当a=－3时，f（x）=－3（x－）3+ 138. 913131313由y=x3在R上的单调性知：a=－3时，f（x）在R上是减函数，综上，a≤－3. 评述：f（x）在R上为减函数?f?（x）≤0（x∈R）. 【例3】（2004年全国，21）若函数y=x3－ 1312 ax+（a－1）x+1在区间（1，4）内2为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a的取值范围. 剖析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解：f?（x）=x2－ax+a－1=0得x=1或x=a－1， 当a－1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意. 当a－1>1，即a>2时，函数f（x）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a－1）上为减函数，在（a－1，+∞）上为增函数. 依题意，当x∈（1，4）时，f?（x）<0，当x∈（6，+∞）时，f?（x）>0，∴4≤a－1≤6. ∴5≤a≤7.∴a的取值范围为［5，7］. 评述：若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数.”我们便知x=4两侧使函数f?（x）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题. ●闯关训练 夯实基础 1.已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是 A.0 B.1 C.2 D.3 解析：f?（x）=3x2－a在［1，+∞)上，f?（x）≥0恒成立，即a≤3x2在［1，+∞）上恒成立， ∴a≤3. 答案：D 2.已知函数f（x）=x4－4x3+10x2，则方程f（x）=0在区间［1，2］上的根有 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 解析：f?（x）=4x（x2－3x+5）在［1，2］上，f?（x）>0， ∴f（x）在［1，2］上单调递增. ∴f（x）≥f（1）=7. ∴f（x）=0在［1，2］上无根. 答案：D ?x）3.函数（fx）的导函数y=f（的图象如下图，则函数（fx）的单调递增区间为________. 解析：在［－1，0］和［2，+∞)上，f?（x）≥0. 答案：［－1，0］和［2，+∞) 4.若函数y=－ 43 x+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________. 3解析：y′=－4x2+b，若y′值有正、有负，则b>0. 答案：b>0 5.设函数f（x）=x3－ 12 ax+3x+5（a>0），求f（x）的单调区间. 2解：（1）f?（x）=3x2－ax+3，判别式Δ=a2－36=（a－6）（a+6）. 1°0 Δ<0，f?（x）>0对x∈R恒成立. ∴当0 a?a2?36a?a2?363°a>6时，Δ>0，由f?（x）>0?x>或x<. 66a?a2?36a?a2?36 666a?a2?36）内单调递减. 6x26.设f（x）=x－－2x+5. 23 （1）求f（x）的单调区间； （2）当x∈［1，2］时，f（x） ?x）解：（1）f（=3x2－x－2=0，得x=1，－ 22?x）.在（－∞，－）和［1，+∞)上f（>0， 33f（x）为增函数；在［－区间为（－∞，－ 2，1］上f?（x）<0，f（x）为减函数.所以所求f（x）的单调增322]和［1，+∞)，单调减区间为［－，1］. 33（2）当x∈［1，2］时，显然f?（x）>0，f（x）为增函数，f（x）≤f（2）=7. ∴m>7. 培养能力 7.已知函数f（x）=x3－ax－1. （1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，使f（x）在（－1，1）上单调递减?若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由； （3）证明f（x）=x3－ax－1的图象不可能总在直线y=a的上方. 解：f?（x）=3x2－a，（1）3x2－a>0在R上恒成立，∴a<0. 又a=0时，f（x）=x3－1在R上单调递增，∴a≤0. （2）3x2－a<0在（－1，1）上恒成立，即a>3x2在（－1，1）上恒成立，即a>3.