发布时间 : 星期日 文章历届高二“希望杯”全国数学邀请赛第二试试题更新完毕开始阅读db4e6e0952ea551810a68752
（A）5 + 93 （B）9 + 53 （C）52+3 （D）2+ 53 6、当x∈[ 0，π ]时，下列不等式中一定成立的是（ ）
（A）sin ( cos x ) < cos ( sin x ) （B）cos ( cos x ) < sin ( sin x ) （C）sin ( cos x ) > cos ( sin x ) （D）cos ( cos x ) > cos ( sin x ) 7、数列{ a n }中，a 1 = 2，a n + 1 =3?an2且b n = | a n + 1 – a n |（n∈N*），设S n是{ b n }的前n项
和，则下列不等式中一定成立的是（ ）
（A）0.3 < S n < 0.4 （B）0.4 < S n < 0.5 （C）0.5 < S n < 0.8 （D）0.5 < S n < 0.9 8、曲线4?x2?y2?2x?y?5= 0所围成的区域中包含的最大圆的面积是（ ） （A）
?4 （B）
5?4 （C）
7?4 （D）
9?4
9、正方体ABCD – A1B1C1D1中，E，F分别是AB、CC1的中点，直线EF与AC1所成角的余弦值是（ ） （A）
23 （B）
223 （C）34 （D）36
10、If the tangent of the parabola y = x 2 at point A ( m，m 2 ) is also tangent to the circle x 2 + y 2 – 2 x = 0 , then there must be（ ）
（A）– 3 < m < – 2 （B）– 2 < m < – 1 （C）– 1 < m < 0 （D）– 1 < m < 5 （英汉词典：tangent切线；parabola 抛物线） 二、填空题 11、方程
tanx?1tanx?1= 3 tan 2 x的解集是 。
12、若双曲线x 2 – y 2 = 1的右支上有一点P( a，b )到直线y = x的距离为2，则a + b = 。 13、当a > b > 0时，使不等式ab–ba> k (a–b)恒成立的常数k的最大值是 。
14、平面直角坐标系内的格点（横、纵坐标都是整数的点）到直线6 x + 8 y = 15的最近距离是 。 15、当arctan≤ x ≤ arctan时，csc x – cot x的取值范围是 。
631116、与直线x – 3 y = 0和3 x – y = 0相切，且过点A( 11，– 7 )的圆的方程是 。 17、If the function y = log1[ a x – 3 x + ( a – 1 ) ] is monotonically decreasing in the interval ( 1，+
22
∞ ) , then the range of the parameter a is ．
（英汉词典：monotonically单调地；interval 区间；parameter参数）
18、设正三棱锥底面的边长为a，侧面组成直二面角，则该棱锥的体积等于 。 19、数列{ a n }中，a 1 = 1，a n + 1 =3an?1an?3（其中n∈N*），a 2004 = 。
20、记关于x的函数y = cos 2 x + 3 a sin x的最大值为g ( a )，则g ( a )的解析式是 。
答案：一、B、C、D、C、B、A、B、D、B、C；
二、11、{ x | x = k π – arctan ( 4 ±15)，k∈Z }；12、±；13、3；14、
211；15、[37– 6，10–
224103 ]；16、( x – 5 ) 2 + ( y + 5 ) 2 = 40或( x – 85 ) 2 + ( y + 85 ) 2 = 11560；17、( 2，+ ∞ )；18、??a??3a?1??92?19、2 +3；20、g ( a ) =?a?1，???8?????3a?1?a???43?434。 3a；
yM?1O?a?43NP第5题图x简解：3、设三档题为x、y、z道，则x + y + z = 100，x + 2 y + 3 z = 180，x – z = 20，y + 2 z = 80；5、函数可化为y =(x?1)2?1–(x?3232)?234，即可表示为x轴上的点P( x、0 )到点M( – 1，1 )、
N(，32)的距离之差，故当P、M、N共线时，差最大为| MN | = 9 + 53，即为所求最大值；
10、切线方程为y = 2 x，又与圆相切，故可得方程f ( m ) = m 4 – 3 m 3 – 1 = 0，而f ( – 1 ) = 3 > 0，f ( 0 ) = – 1 < 0，所以 – 1 < m < 0； 13、k
6311x2；19、a n = tan [
?4–
?6( n – 1 ) ]；
三、解答题（每题10分，共30分）要求：写出推算过程。 21、已知函数y = f ( x )有反函数y = f – 1 ( x )。
（1）把y = f ( x )的图象绕原点顺时针旋转90°，求所得曲线的方程（用反函数表示）； （2）把曲线y = ln
x?1x?1绕原点顺时针旋转90°，求所得曲线的方程。
解：（1）设旋转后曲线上任意一点P( x，y )，则在y = f ( x )上与之对应的点Q( – y，x )， 故有x = f ( – y )，∴ – y = f – 1 ( x )，∴ y = – f – 1 ( x )； （2）y = f ( x ) =
– 1
e?1e?1xx，∴所得曲线的方程为y = – f ( x ) =
– 1
1?e1?exx。
22、下图是由无限个阻值均为1Ω的电阻按一定规律组成的网络，若从图中A1B1处沿虚线将网络截断，A、B间电阻为R1（Ω），若从A2B2处沿虚线将网络截断，A、B间电阻为R2（Ω），
依次类推，若从AnBn处沿虚线将网络截断，A、B间电阻为Rn（Ω）。 （1）求数列{ R n }的通项；
（2）当网络趋于无穷时，求A、B间的电阻R（Ω）。 23、（1）求椭圆（2）求椭圆
x2ABA1rrB1rrA2rB2rrrAnrBnrrx29y+
2y24= 1所围成的图形的面积；
9+
4= 1与直线x = – 1及x = 2所围成的图形的面积。
（提示：用伸缩变换可将椭圆转化为圆）
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
2005年4月17日 上午 8：30—10：30
一、选择题
1、arccot ( –3) – arcsin ( –（A）0 （B）2、已知关于x的不等式的值等于（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 3、函数y =e?ex32) 的值等于（ ）
7?6?2 （C）π （D）
6x?1+ a x + b > 0 ( a，b ∈R)的解集为 ( – 2，– 1 )∪( 1，+ ∞ )，则a + b
的值域是（ ）
x1?e（A）( e，+ ∞ ) （B）[ 2e?1，+ ∞ ) （C）[ e，+ ∞ ) （D）( 2e?1，+ ∞ ) 4、已知m，n为正数，且m n
1 + lg m
，则m n的取值范围是（ ）
（A）( – 2，2 ) （B）( 10 – 2，100 ) （C）( 0，10 – 4 ]∪[ 1，+ ∞ ) （D）( 0，10 – 4 ) 5、函数y = sin a x + cos a x 的最小正周期为4，则它的对称轴可能是直线（ ）
（A）x = –
?2 （B）x = 0 （C）x =
?2 （D）x =
12
6、Given the circle C : x 2 + y 2 = 2 and point P ( 3 , 4 ) , let lines PA and PB be tangent to C at points A and B respectively . Then the equation of line AB is（ ）
（A）3 x – 4 y – 2 = 0 （B）3 x + 4 y – 2 = 0 （C）4 x – 3 y + 2 = 0 （D）4 x + 3 y + 2 = 0 （英汉词典：be tangent to 与??相切；respectively 分别） 7、设a，b，c∈R，若( a + b + c ) (
+
1a+
1b?c) ≥ k恒成立，则k的最大值是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
?x?2y?10?2x?y?128、已知x，y满足条件?，则2 x + 3 y的最小值是（ ） ??x?3??y?2（A）18 （B）24 （C）
332 （D）
523
9、椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的一点P和两个焦点F1、F2连线的夹角∠F1PF2 = 120o，且点P到两准线的距离分别为2和6，则椭圆的方程为（ ） （A）
x213+
16y392= 1 （B）
x213+
y23= 1 （C）
x28+
13y392= 1 （D）
x28+
y26= 1
10、给定( 0，1 )范围内的任意四个不同的实数m 1，m 2，m 3，m 4，若a，b∈{ m 1，m 2，m 3，m
4 }且满足条件322< a b +1?a?1?b2< 1，则这样的有序数对( a，b )的个数至少是（ ）
（A）6 （B）4 （C）2 （D）0 二、填空题
11、函数y =x?2+5?x的最大值是 ，最小值是 。
1112、已知{ a n }为无穷递缩等比数列，且a 1 + a 2 + a 3 + ? =a1=，a 1 – a 3 + a 5 – a 7 + ? =，
1?q24则a n = 。
13、实数x，y满足2 x 2 + 4 x y + 2 y 2 + x 2 y 2 ≤ 20，则22( x + y ) + x y的取值范围是 。 14、Let triangle ABC be regular , and each side be 1 , let point P be its center of gravity and M 1 , M 2 , M 3 be arbitrary points on each side respectively . Then the minimum of PM1 + M1M2 + M2M3 + M3P ( sum of the length of line segments ) is ．
（英汉词典：regular 规则的，正的；center of gravity 重心；arbitrary points 任意点） 15、点P、Q在椭圆
x29+
y24????????= 1上运动，定点C的坐标为 ( 0，3 )，且CP+ λCQ= 0，则λ的取