发布时间 : 星期日 文章历届高二“希望杯”全国数学邀请赛第二试试题更新完毕开始阅读db4e6e0952ea551810a68752
值范围是 。 16、已知双曲线
xa22–
yb22= 1的一条渐近线与它的右准线交于点A，F为双曲线的右焦点，且直线
3FA的倾斜角为arccos ( –)，则此双曲线的离心率为___________。
5????????17、平面内的向量OA= ( 1，1 )，OB= ( – 1，– 1 )，点P是抛物线y = x 2 + 2 x – 3（– 3 ≤ x ≤ 1）
????????上任意一点，则AP?BP的取值范围是________。
18、一个路灯的顶部灯罩是半径为R的半球状，半球底面朝下并与地面平行，当阳光以θ角（光线与地面所成角）照射在该灯时，灯罩在地面上的影子的面积等于_____________。 19、Solution set of the inequality log 3 ( x + 5 ) < 1 +
12log 3 ( 25 – x 2 ) with respect to x is ．
20、过四面体的一条底边的平面把正四面体的体积自上而下分成m，n两部分，则此平面与正四面体的底面夹角的余切值等于_________。
答案：一、D、C、A、C、D、B、D、A、A、C； 二、11、6，3；12、22(2– 1 ) n；13、[ – 10，10 ]；14、m?3n42m213；15、[ – 5，–]；16、；
541517、[ – 5，17– 2 ]；18、 ；19、( – 5，4 )；20、。
1b?1简解：4、lg m lg n + lg m n = 0，令a = lg m，b = lg n，则a b + a + b = 0，a =+ b = ( b + 1 ) +
1b?1– 1，lg m n = a
– 2∈( – ∞，– 4 ]∪[ 0，+ ∞ )；
8、不等式组表示的可行域是由直线x + 2 y = 10、2 x + y = 12、x = 3、y = 2围成的不封闭区域（包括边界线）如图所示，令b = 2 x + 3 y，该方程表示斜率为–当
b323，纵截距为
b3的平行直线系，显然
达最小值时，有b达最小值，易知，该平行直线系中经过可行域的所有直线里，纵截距最小
143的是经过可行域的边界点 (，)（边界线x + 2 y = 10与2 x + y = 12的交点）的那条直线，故
35238bmin= 2 ×143+ 3 ×=
38523，即2 x + 3 y 的最小值是；9、
a2c= 4，c =13e；
10、令a = cos α，b = cos β，0° < α，β < 90°，则32< cos ( α – β ) < 1，0° < | α – β | < 30°，而在
（0°，90°）上任选四个角，其中必有两角之差小于30°；
13、令a =2( x + y )，b = x y，则有a 2 + b 2 ≤ 20，故– 10 ≤ 2 a + b ≤ 10；
yx = 3AP1M1Px + 2 y = 10AM2P3CEDFGH第20题图y = 2O2 x + y = 12xBM3第8题图????????32332
2
P2第14题图BC
17、设P( x，y )，则AP?BP= x + y – 2，考虑几何意义； 20、设棱长为1，则CF =33mm?n， CG =mm?n33，AG =FHEH63，EH =
m?3n42mmm?nAG =
63?mm?n，CH =
mm?nCG
=?，FH =
32–?，cot θ ==；
三、解答题 21、求函数y = x +
2
3x的单调区间。
3x2解：若x < 0，函数单调递减；若x > 0，由y ' = 2 x –= 0，得x =332，
∴ 当0 < x <332时，y ' < 0，函数单调递减，当x >33232时，y ' > 0，函数单调递增，
∴ 函数的单调区间分别是( – ∞，0 )，( 0，332]，[3，+ ∞ )。
22、数列{ a n }中，a 1 = 1，a n – a n + 1 = a n + 1 + 3 a n a n + 1。 （1）求数列{ a n }的通项公式；
（2）已知y = f ( x ) 是偶函数，且对于任何x都有f ( 1 + x ) = f ( 1 – x )，当x∈[ – 2，– 1 )时，f ( x ) = log 2 | x + 1 |。求使f ( x ) + a n < 0（n∈N*）恒成立的x的取值范围。
23、已知双曲线C1的焦点在坐标轴上，其渐近线与圆5 x 2 + 5 y 2 – 10 x + 4 = 0相切，过点P( – 4，0 )且倾斜角为arcsin1717的直线交双曲线C1于A、B两点（点P位于A、B两点之间），交y轴
2
于点Q，若| PA | ? | PB | = | PQ | 。 （1）求双曲线C1的方程；
（2）以原点为中心、双曲线C1的顶点为顶点的椭圆C2中，平行于双曲线一条渐近线的弦的中点的轨迹恰是另一条渐近线截在椭圆内的部分，求双曲线C1和椭圆C2的离心率。
yQAPBxC1第23题图1
yx ? 2 y + 2 m = 0NHMmxC2第23题图215
解：（1）设双曲线的渐近线方程为y = ± k x（k > 0），圆方程可化为( x – 1 ) 2 + y 2 =，从而圆心
55( 1，0 )到渐近线的距离为1717，即|k|k?1142=55，∴k =
12，故双曲线方程可设为C1：
x24n–
y2n=
1 ①，由θ = arcsin，得k = tan θ =，∴过点P( – 4，0 )的直线方程为x – 4 y + 4 = 0 ②，
∴Q ( 0，1 )，| PQ | =17；设A( x 1，y 1 )，B( x 2，y 2 )，∵点P位于A、B两点之间，y 1 y 2 < 0，
2则| PA | =(x1?4)2?y12=17y12，| PB | =(x2?4)2?y2=17y22，∵| PA | ? | PB | = | PQ | 2，∴y 1
y 2 = – 1，联立①，②消去x整理得3 y 2 – 8 y + 4 – n = 0，∴C1：
x24?n3= – 1，∴n = 7，∴双曲线方程为
28–
y27= 1；
52（2）在双曲线中a = 27，c =35，∴e 1 =，设椭圆方程为C2：
x228+
yb22= 1 ③，平行线
为x – 2 y + 2 m = 0 ④，联立③，④消去x整理得( b 2 + 7 ) y 2 – 2 m b 2 y + ( m 2 – 7 ) b 2 = 0，设M( x 1，y 1 )，N( x 2，y 2 )，∴ y 1 + y 2 =P(
2mb222mb22b?7，x 1 + x 2 =
2mb224mb22b?72– 4 m，由题意知MN的中点
2b?72– 2 m，
3mb22b?7)在直线x + 2 y = 0上，即
b?7– 2 m +
2mbb?7= 0，∴b 2 = 7，∴c =21，
∴e 2 =。
第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
2006年4月16日 上午 8：30—10：30
一、选择题（每小题4分，共40分）
1、命题p：偶函数一定没有反函数；命题q：函数y = x +则下列四个判断中正确的是（ ）
1x的单调递减区间是[ – 1，0 )∪( 0，1 ]。
（A）p真q真 （B）p真q假 （C）p假q真 （D）p假q假
2、若不等式| x – m | < 1成立的充分不必要条件是2 < x < 3，则实数m的取值范围是（ ） （A）( 2，3 ) （B）[ 2，3 ] （C）( – ∞，2 ) （D） [ 3，+ ∞ )
3、设直角三角形两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，斜边上的高为h，则a + b和c + h的大小关系是（ ）
（A）a + b < c + h （B）a + b > c + h （C）a + b = c + h （D）不能确定 4、函数y =5?4x?x2+ lg ( cos 2 x + sin x – 1 )的定义域是（ ） （A）( 0，
12) （B）( –
?211?6，–
7?6)∪( 0，
?6) （C）( –
7?6，– π )∪( 0，
?6) （D）( 0，
?6)
5、若x ∈( –，
?2)，则不等式| sec 2 x – 3 tan x – 5 | < tan x + 1的解集是（ ）
（A）( 0，arctan 3 ) （B）( arctan 3，arctan 5 ) （C）( arctan 5，6、过双曲线
x22?2) （D）( –
22?2，arctan 3 )∪( arctan 5，
?2)
ba????????N两点，则PM?PN的值为（ ）
2
2
–
y= 1（a > 0，b > 0）上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M、
（A）a （B）b （C）2 a b （D）a + b
22
HEPDAfig.1BFQG7、定义平面上的区域D如下：若P为D内的任意一点，则过P点必定可以引抛物线y = m x 2 ( m < 0 )的两条不同的切线，那么（ ） （A）D = { ( x，y ) | y > m x 2 } （B）D = { ( x，y ) | y > 2 m x 2 } （C）D = { ( x，y ) | y < m x 2 } （D）D = { ( x，y ) | y < 2 m x 2 } 8、已知4
xC，4x?y，4
3x?2成等比数列，则点( x，y )在平面直角坐标系中的轨迹为（ ）
（A）圆的一部分 （B）椭圆的一部分 （C）双曲线的一部分 （D）抛物线的一部分
9、In Fig．1 , let P and Q be two moving points on the edges DH and BF of a cube such that HP = BQ . then the range of the angle formed by plane PQC and base ABCD is（ ） （A）[ arccos233，arccos33] （B）[
?6，
?4]（C）[ arccos63，?4]（D）[arccos263，
?4]
（英汉词典：edge棱，边；cube立方体；range范围，值域；base底面）
10、平面内有4个圆和1条抛物线，它们可将平面分成的区域的个数最多是（ ）