发布时间 : 星期六 文章【20套精选试卷合集】北京市一零一中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案更新完毕开始阅读dbc7729cbf23482fb4daa58da0116c175f0e1eb4
f ′(x) f (x) ? ↗ 0 极大值 － ↘ － ↘ 0 极小值 ? ↗ 1－
由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e1，f (x)的极小值是f ()＝4e．……………………………………4
2分
b
（2）① 因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex，
xb
当a＝1时，g (x)＝(x－－2)ex．
x
因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，
x
所以b≤x2－2x－x在x∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………………………8分
e记
h(x)＝x2－2x－
(x－1)(2ex＋1)x
（x＞0），则h′(x)＝． exex
当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数； 当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数． 所以h(x)min＝h(1)＝－1－e1．
所以b的最大值为－1－e1． …………………………………………10分 b
解法二：因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex，
xb
当a＝1时，g (x)＝(x－－2)ex．
x
因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，
b
所以g(2)＝－e2＞0，因此b＜0． …………………………………………6分
2(x－1)(x2－b)exbxbx
g′(x)＝(1＋2)e＋(x－－2)e＝．
xxx2
因为b＜0，所以：当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)在（1，＋∞）上是增函数．
所以g(x)min＝g(1)＝(－1－b)e
－1
－－
…………………………………………8分
因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立， 所以(－1－b)e1≥1，解得b≤－1－e1
因此b的最大值为－1－e1． …………………………………………10分 bbb
②解法一：因为g (x)＝(ax－－2a)ex，所以g ′(x)＝(2＋ax－－a)ex．
xxxbbb
由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)ex＋(2＋ax－－a)ex＝0，
xxx整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0． 存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，
等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． …………………………………………12分
－
－
－
b2x3－3x2
因为a＞0，所以＝．
a2x－1
33
8x[(x－)2＋]
416
设u(x)＝（x＞1），则u′(x)＝．
2x－1(2x－1)2
2x3－3x2
因为x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，
bb
所以＞－1，即的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16
aa分
bbb
解法二：因为g (x)＝(ax－－2a)ex，所以g ′(x)＝(2＋ax－－a)ex．
xxxbbb
由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)ex＋(2＋ax－－a)ex＝0，
xxx整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0． 存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，
等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． …………………………………………12分 设u(x)＝2ax3－3ax2－2bx＋b(x≥1)
u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b 当b≤0时，u′(x) ≥0 此时u(x)在[1，＋∞)上单调递增，因此u(x)≥u(1)＝－a－b 因为存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立
b
所以只要－a－b＜0即可，此时－1＜≤0 …………………………………………13分
a3a＋9a2＋16ab3a＋9a23
当b＞0时，令x0＝＞＝＞1，得u(x0)＝b＞0，
4a4a2又u(1)＝－a－b＜0于是u(x)＝0，在(1，x0)上必有零点
b
即存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立，此时＞0 …………………………………………15分
ab
综上有的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分
a20．(本小题满分16分)
已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列， a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列． （1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；
（2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有
an＋1a2＜． ana1
解：（1）解法一：因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d，则a3＝3－2d，a4＝3－d．
(3－2d)2 a23因为a2，a3，a4成等比数列，所以a2＝a4＝3－d． ………………3分
(3－2d)2 33
因为a2＝1，所以3－d＝1，解得d＝2，或d＝4．因为an＞0，所以d＝4． 1
因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－(3－2d)＝2．……………5分 解法二：因为a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5成等差数列，
?2?a1?a3?2则?a3?a4，……………3分 ?2a?a?33?4则2a3?a3?3，解得a3?2331或a3??1（舍），所以a1?2??。………5分 222解法三：因为a1，a2，a3成等差数列，则a3?2?a1，
因为a2，a3，a4成等比数列，则a4?(2?a1)………………3分
2因为a3，a4，a5成等差数列，则2a4?a3?a5，则2(2?a1)?2?a1?3
2解得：a1?3或a1?11；当a1?3时，a3??1（与an?0矛盾，故舍去），所以a1?． 22………5分（注：没有舍去一解，扣1分）
（2）证法一：因为a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列， 2 ＝aa 2 所以2a2n＝a2n－1＋a2n＋1，① a2n＋12n2n＋2．②；所以a2n－1＝a2n－2a2n，n≥2．③ 所以a2n－2a2n ＋a2na2n＋2＝2a2n．
因为an＞0，所以a2n－2 ＋a2n＋2＝2a2n ． …………7分 即数列{a2n }是等差数列．
所以a2n ＝a2 ＋(n－1)(a4－a2)．
由a1，a2及a2n－1，a2n，a2n＋1是等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2是等比数列， (2a2－a1)2
可得a4＝．………………8分
a2
所以a2n ＝a2 ＋(n－1)(a4－a2)＝
(a2－a1)n＋a1
． a2
[(a2－a1)n＋a1]2
所以a2n＝．……………………10分
a2[(a2－a1)(n＋1)＋a1]2
所以a2n＋2＝．
a2
从而a2n＋1＝a2na2n＋2＝
所以a2n－1＝
[(a2－a1)n＋a1][(a2－a1)(n＋1)＋a1]
．
a2
[(a2－a1)(n－1)＋a1][(a2－a1)n＋a1]
．………………12分
a2
①当n＝2m，m∈N*时，
[(a2－a1)m＋a1][(a2－a1)(m＋1)＋a1]
a2an＋1a2a2(a2－a1)(m＋1)＋a1a2 －＝－＝－ 2ana1a1a1[(a2－a1)m＋a1](a2－a1)m＋a1
a2
m(a1－a2)2
＝－＜0． ……………14分
a1[(a2－a1)m＋a1]②当n＝2m－1，m∈N*，m≥2时，
[(a2－a1)m＋a1]2
a2an＋1a2(a2－a1)m＋a1a2a2
－＝－＝－
ana1[(a2－a1)(m－1)＋a1][(a2－a1)m＋a1]a1(a2－a1)(m－1)＋a1a1
a2(m－1)(a1－a2)2
＝－＜0．
a1[(a2－a1)(m－1)＋a1] 综上，对一切n∈N*，n≥2，有
an＋1a2＜． ………………16分 ana1
证法二：①若n为奇数且n≥3时，则an，an＋1，an＋2成等差数列．
an＋2an＋1an＋2an－a2n＋1(2an＋1－an)an－a2n＋1(an＋1－an)2
因为－＝＝＝－≤0，
an＋1anan＋1anan＋1anan＋1an所以
an＋2an＋1
≤．………………9分 an＋1an
an＋2an＋1
②若n为偶数且n≥2时，则an，an＋1，an＋2成等比数列，所以＝．………11分
an＋1an由①②可知，对任意n≥2，n∈N*，
an＋2an＋1a3≤≤…≤．………13分
a2an＋1an
(a1－a2)2a3a22a2－a1a22a2a1－a12－a22
又因为－＝－＝＝－，
a2a1a2a1a2a1a2a1(a1－a2)2a3a2
因为a1＜a2，所以－＜0，即＜．………15分
a2a1a2a1an＋1a2综上，＜．…………16分．
ana1
数学附加题
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． ．．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域．．．．．．．
内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与 DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F． （1）求证：四边形ACBE为平行四边形； （2）若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长.
A．选修4—1：几何证明选讲
解：（1）因为AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠ACB． 因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB． 所以∠ABC＝∠BAE．
所以AE∥BC．因为BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．…………………………………4分
D 第21题A图 B F C
E
A