发布时间 : 星期一 文章2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题42 综合性问题(含解析)更新完毕开始阅读dc6226289a89680203d8ce2f0066f5335b81679b
∴．
∴b＝6，c＝2019．
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0）， 代入解析式可得：
∴两式相加可得：﹣4x0+2（c﹣2020）＝0． ∴c＝2x0+2020， ∴c≥2020；
（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）+1． ∴y≤1．
∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好∴∴
≤． ．
≤
≤
，
2
2
2
2
．
∴≤1，即m≥1． ∴1≤m＜n．
∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下， ∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小． ∴当x＝m时，y最大值＝﹣2m+4m﹣1． 当x＝n时，y最小值＝﹣2n+4n﹣1． 又
，
2
2
∴．
将①整理，得2n﹣4n+n+1＝0，
变形，得2n（n﹣1）﹣（2n+1）（n﹣1）＝0． ∴（n﹣1）（2n﹣2n﹣1）＝0． ∵n＞1，
∴2n﹣2n﹣1＝0．
2
22
32
解得n1＝（舍去），n2＝
2
．
同理，由②得到：（m﹣1）（2m﹣2m﹣1）＝0． ∵1≤m＜n， ∴2m﹣2m﹣1＝0． 解得m1＝1，m2＝综上所述，m＝1，n＝
（舍去），m3＝
．
（舍去）．
2
【点评】主要考查了二次函数综合题，解答该题时，需要熟悉二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性，二次函数图象的增减性，二次函数最值的意义以及一元二次方程的解法．该题计算量比较大，需要细心解答．难度较大．
2. （2019?湖北十堰?8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC＝90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可；
（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得． 【解答】解：（1）如图，连接OD，AD， ∵AC是直径， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，
∵∠CDE＝∠BAC． ∴∠CDE＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠CAD＝∠ADO， ∵∠ADO+∠ODC＝90°， ∴∠ODC+∠CDE＝90° ∴∠ODE＝90° 又∵OD是⊙O的半径 ∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵AB＝3BD， ∴AC＝3DC，
设DC＝x，则AC＝3x， ∴AD＝
＝2
x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED， ∴△CDE∽△DAE， ∴∴DE＝4
＝
，即
， ＝
＝
，x＝
∴AC＝3x＝14， ∴⊙O的半径为7．
【点评】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相
似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．
3. （2019?湖北十堰?10分）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上． （1）填空：∠CDE＝
（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若α＝90°，AC＝5的距离．
，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG
【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝α，即可求解；
（2）由旋转的性质可得AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，可证△CDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF＝EF＝
，即可求解；
（3）分点G在AB的上方和AB的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解． 【解答】解：（1）∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE ∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α ∴CD＝CE ∴∠CDE＝故答案为：（2）AE＝BE+理由如下：如图，
CF