发布时间 : 星期一 文章青岛科技大学2010-2011-1复变函数A试题及答案更新完毕开始阅读dc8ee17b336c1eb91b375d33
2010-2011 学年 第一 学期 复变函数与积分变换 (A) 课程考试试题
拟题学院（系）: 数理学院 拟题人: 杨延召
适 用 专 业: 自动化各专业 校对人: 王琳
（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）
一、 选择题（每小题3分，共18分）
1、设z=1-i,则Im(
1)=____________. 2zA、?1 B、?11 C、 D、1
222、设z=cosi，则____________.
A、Imz=0 B、Rez=π C、|z|=0 D、argz=π 3、设C为正向圆周|z|=1，则积分
dz?c|z|=____________.
A、0 B、2πi C、2π D、－2π 4、幂极数
（n?1)!nz的收敛半径为____________. ?(2n)!n?1?A、0 B、1 C、2 D、＋?
(ez?1)sinz5、点z=0是函数f(z)?的_____________.
z2(z?1)A、可去奇点 B、一阶极点 C、二阶极点 D、本性奇点
??1t?06、函数sgnt??在傅氏变换下的像为_____________.
1t?0?A、
1211 B、 C、 D、
i?i?1?i?1?i?
1
二、 填空题（每小题3分，共21分）
1、当z?1时，z?a的最大值为_____________. 2、(1?i)为_________. 3、函数f(z)?z在z?1的泰勒展开式的收敛圆域为_____________.
(z?2)(z?3)in3?3?5?d?,则f??(?i)=_____________ 4、若f(z)=???z??25、设f(z)?1z(ezt?1),则Res[f (z),0]=__________.
2t6、已知函数e在拉氏变换下的像为才，则(t?1)e在拉氏变换下的像为______. 7、函数??1把z平面上的曲线y?x映射成?平面上的像为 ______. z三、 计算题（每小题10分，共50分）
1、试讨论定义于复平面内的函数f(z)?zRe(z)在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数。 2、求f(z)?2z?1在圆环域1 (z?1)(z?2)1ezdz. 3、设C是正向圆周z?1?,计算?2Cz?3z?22ezdz. 4、利用留数定理计算积分?z?2(z2?1)25、求积分I??????2cosxdx. x2?4x?5四、 综合题（11分） f'(z)?0 在区域D内处处成立的充要条件为f(z) 在区域D内为一常数 2 2010－2011 学年 一 学期 复变函数与积分变换（A）试题标准答案 拟题学院（系）： 数理学院 拟 题 人： 杨延召 适用专业： 自动化各专业 书写标准答案人： 杨延召 （答案要注明各个要点的评分标准） 一、选择题（18） 1、C 2、A 3 、A 4、D 5 、A 6、 C 二、填空：（21） 1、1?a 2、 e1?(2k?)?4(cosln2ln2?isin) (k?0，?1，?2,?) 222s?4s?51 3、z?1＜2 4、36? 5、 6、 7、 直线 u??v 2(s?1)3三．计算题（50） ?u(x,y)?x2?xy1、解：由题意知?，由于 ?v(x,y)?0?x?0?u?v?u?v （4分） ?2x?y??0，?x???0可得?y?0?x?y?y?x?由函数可导条件知，f(z)?zRe(z)仅在z?0处可导， 在复平面内处处不解析。 （4分） 其导数由 f(z)?'?u?v?i可得：f'(0)?0 。 (2分) ?x?x2、解：在1?z?2内 f(z)?111111 （5分） ???122z?1z?2z1?1?zzn?1?1n1?zn1n?1?nz ??()??(?)??()??(?1)n?1 （5分） zn?0z2n?022n?0zn?0 3 3、解： ?Cez?2dz. （5分） dz.??Cz?1z2?3z?2zezez??2?ei （5分） ?2?i?z?2z?1 4、：被积函数在z?2内有两个孤立奇点z??i，且都是二级极点 （2分） ezezezdz?2?i[Res(2,?i)?Res(2,.i)] 由留数定理得?2222?(z?1)(z?1)(z?1)z?2ez)' ?2?i[(2(z?i)分） z?iez?)'2(z?i)z??i] （4 ?2?i[ei(i?1)?分） i4i?i?e(i?1)]??[ei(i?1)?e?i(i?1)] （4425、被积函数分母最高次幂比分子高幂高二次，且在实轴上没有奇点，在上半平面有一个一级极（2分） 故I?点 ?2?i ?????eixeizdx?2?iRes(2,?2?i) 2x?4x?5z?4z?5(?cois2 s i n 2 ) （5 eiz???(?2i2))? ?2?ilimz(z?(?2?i)z?4z?5e分） 故I????????2cosxeix2?dx.?2Redx?cos2 （322???x?4x?5x?4x?5e分） 四、证明题(11) 证明：必要性：? f(z)?'?u?v?v?u?i??i?0 ?x?x?y?y 4 ?? EMBED Equation.3 ???????? EMBED Equation.3 ???? ?? （3分） ?? EMBED Equation.3 ???????? EMBED Equation.3 ??????常数 ?? EMBED Equation.3 ??????常数 （3分） 充分性：设 ?? EMBED Equation.3 ?????? （?? EMBED Equation.3 ??????为常数） ?? EMBED Equation.3 ?????? ?? EMBED Equation.3 ???? ?? 3分） ?? EMBED Equation.3 ??????2分） ??PAGE EMBED Equation.3 ???? 在D内处处成立 （?? ?? （ ??2??5??