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第一章 生物力学基础
通过复习后，应该:
1.掌握刚体定轴转动的角速度、角加速度、转动惯量、转动定律、角动量、物体平衡的力学条件;
2.理解物体形变时的张应变和张应力、切应变和切应力、体应变和体压强; 3.了解人体骨骼、肌肉、血管壁的力学性质以及作用在骨骼上的力。
1-1 一飞轮以转速为1500rad?min转动，受到制动后均匀地减速，经50s后静止，求: ①飞轮的平均角加速度; ② t?25s时刻的角速度; ③若飞轮的半径为0.25m，t?25s时刻的飞轮边缘的切向速度和向心加速度。
解: ①已知初始角速度为?1?1500rad?min?1?25rad?s?1，末角速度?2?0rad?s?1,
?1t?0?25rad?s-2??0.5rad?s-2 ??50?t?50s，根据????2??1，可得飞轮的平均角加速度为
②根据 ???0??t，可得t?25s时刻的角速度为 ?=(25?0.5?25)rad?s-1?12.5rad?s-1 ③已知r?0.25m，t?25s时刻的飞轮边缘的切向速度为 ???r?12.5?0.25m?s向心加速度为
an??2r?12.52?0.25m?s?2?39.1m?s?2
1-2 一长为L，半径为R、质量为m的均匀圆柱体，计算转轴通过圆柱体的几何轴线时，圆柱体的转动惯量。
解: 由于质量是均匀分布的，其圆柱体密度???1?3.125m?s?1
m，把圆柱体看成由许多同轴的薄πR2L圆筒组成（见本题附图），其半径为r，厚度为dr的薄圆筒的质量元为dm???2πrdrL，该薄圆筒对于通过圆柱体几何轴线的转动惯量为dI=rdm，所以整个圆柱体对该转轴的转动惯量为
2I??r2dm??2πL??r3dr00RRR4 ? ?2?πL?4π?LR4? ? 2m将??代入上式得
πR2L
R L
r dr mR2I??πL2?RL2 习题1-2附图 1 ?mR2?2
1-3 一密度均匀的圆环形薄板，质量为m，内径为R1 ，外径为R2，求该圆环形薄板对垂直通过中心的转轴的转动惯量。
解: 由于质量是均匀分布的，故圆板的面密度??m，如本题附图所示，距22π(R2?R1)离圆心为r(r?R1)，宽度为dr的圆环面元的面积ds?2πrdr，其质量元为
dm???ds???2πrdr应用转动惯量积分式计算
I??r2?dmR1R2 ? ??R2R1??r2?2πrdr
dr R1 r R2 14? ?π?(R2 ?R14)2m将??代入上式得 2π(R2?R12)I?12m(R2?R12) 习题1-3附图 2
1-4 两物体的转动动能之比为1∶4，转动惯量之比为2∶1，求两物体的角速度之比。
解: 刚体的转动动能为E?122EI?，由此可得??。已知第一个物体与第二个物2I体的E1?E2?1?4，I1?I2?2?1，故两物体的角速度之比为
?1E1I2112 ???????2E2I14242E2I2
1-5 两个圆盘用密度不同的金属制成，但质量和厚度相等，转轴垂直通过圆盘中心，问哪个圆盘具有较大的转动惯量。
答: 设圆盘的密度?1??2，由于两圆盘的质量m和厚度L相同，而质量m??πR2L，因?1??2，故R1?R2，即密度大的圆盘半径小，利用习题1-2的结果，圆盘的转动惯量为
I?2E1I11mR2 2可见，本题中密度小的圆盘具有较大的转动惯量。该题说明，如果改变物体的质量分布，就会改变物体的转动惯量。
1-6 电动机带动一个转动惯量为I?50kg?m2的系统作定轴转动，在0.5s内由静止开始达到120rad?min的转速，假定在这一过程中转速是均匀增加的，求电动机对转动系统施加的力矩。
2解: 已知系统的转动惯量I?50kg?m，在t?0.5s内，角速度由?1?0rad?s?1增加
?1到
?2?120rad?min?1?2rad?s?1，故在这段时间内的平均角加速度为
????1??2t?2?0rad?s-2?4rad?s-2 0.5根据M?I?，可得电动机对转动系统施加的力矩为 M?50?4N?m=200N?m
1-7 如本题附图所示，用轻质线绕在半径为R、质量为m1 的圆盘上，线的一端挂有质量为m2 的物体，如果圆盘可绕过盘心的垂直轴在竖直平面内转动（摩擦力矩不计），求物体下落的加速度和圆盘转动的角加速度。
解: 忽略轻质线的转动惯量，设线对m2物体的拉力为T，物体下落的加速度为a，圆盘转动的角加速度为?，由于圆盘绕过盘心的垂直轴转动，其转动惯量I?牛顿第二定律和刚体的转动定律以及附图，可得以下三个方程
1m1R2，根据2 ① ?m2g?T?m2a?? ② ?T?R?I???a?R?? ③?将上面三式联立求解:由②式得T?I?/R，代入①式，且将 ③式也代入①式，经整理后，可得圆盘的角加速度?为 ??m1 R α β
m2gRm2gR2m2gm2 ??2m2R?ImR2?1mR2(2m2?m1)R212物体下落的加速度a为 习题1-7附图
a?R??R?
1-8 一转台绕竖直固定轴转动，每10s转一周，转台对轴的转动惯量为1200kg?m2 ，质量为80kg的人开始时站在台中心，随后沿半径向外跑去，当此人离台中心2m时，转台的角速度是多少?
解: 已知人在台中心时系统的转动惯量I1?1200kg?m2，角速度
2m2g2m2g ?(2m2?m1)R(2m2?m1)?1?2π?1rad?s?1?0.628rad?s?1。若将人视为一个80kg的质点，则当人在离台中心102m时，整个系统的转动惯量I2为
I2?I1?I人?（1200?80?22）kg?m2?1520kg?m2
人沿半径向外跑去时，系统所受的合外力矩为零，根据角动量守恒定律，I??恒量，有
I1?1?I2?2，由此可得人离台中心2m时，转台的角速度?2为
?2?I1?11200?0.628?rad?s?1?0.5rad?s?1 I21520?1 1-9 一人坐在转椅上，双手各持哑铃，哑铃与转轴的距离各为0.6m，先以5rad?s的角速度随转椅旋转，然后人将哑铃拉回，使得哑铃与转轴的距离变为0.2m，设人本身的转动惯量为5kg?m 不变，每一哑铃皆可视为质量为5kg的质点，摩擦力忽略不计，求: ①此系统的初角动量; ②哑铃拉回后系统的角动量。
解: ①已知m哑=5kg，r哑?0.6m，I人=5kg?m ，?1?5rad?s，开始时该系统的
2?12