发布时间 : 星期三 文章2020年高中数学一轮复习步步高教师用书全套学案京津鲁琼专用微专题七更新完毕开始阅读dcfa7bf4ae1ffc4ffe4733687e21af45b207fe30
微专题七 放缩法在证明中的应用
[解题策略]
放缩法是不等式证明的重要方法,其中的放缩技巧既有模式可循但更有创意之变,如何灵活运用放缩法解题是衡量解题者思维好坏的标杆. 常见的放缩形式有: 1
(1)2的放缩: n
1111
＝－(n≥2), 2＜nn?n－1?n－1n1111＝－, 2>nn?n＋1?nn＋11111＝－； 2＜n1112
n－n－n＋4221
(2)的放缩: n！
111＝＜ n！1·2·3·…·nn·?n－1?＝
11
－(n≥2), n－1n
111＝＜ n！1·2·3·…·n1·2·2·…·2＝2
n－1(n≥2)；
1
(3)
1
的放缩: n122＝>＝2(n＋1－n), n2nn＋n＋1122＝＜＝2(n－n－1)； n2nn＋n－1b
(4)真分式的放缩:
abb＋m
若a>b>0,m>0,则＜. aa＋m
另外,利用重要不等式放缩、导数应用中有关ln x型的放缩(如:ln(1＋x)＜x,x>0)等也是常见的放缩方式.
利用放缩法证明不等式的难点是放缩的“度”不好把握,放大了或放小了都得不出所证不等式,这样需要回头调整,留一项或几项不放缩逐步试验向所证结论靠扰,下面举例说明.
n161
例1 设n∈N*,求证:? 2＜.
36i＝1i
1111
分析 当n≥2时,2＜＝－,
nn?n－1?n－1n1111所以2＋2＋2＋…＋2
123n111＜1＋＋＋…＋ 1·22·3?n－1?n
1111
－?＝2－＜2, 1－?＋…＋?＝1＋??2?n?n－1n?61
而2>,放大了,若从第三项开始放缩如何呢？
36当n≥3时, 11112＋2＋2＋…＋2 123n
1111＜1＋2＋＋＋…＋ 22·33·4?n－1?n
1111??11?1
－? －＋－＋…＋?＝1＋2＋?2?23??34??n－1n?111717
＝1＋＋－＝－＜,
42n4n4
761
而>,仍放大了,若从第四项开始放缩呢？ 436当n≥4时, 11112＋2＋2＋…＋2 123n
1111＜1＋2＋2＋＋…＋ 233·4?n－1?n1111?11
－? －＋…＋?＝1＋2＋2＋?23?34??n－1n?111161161
＝1＋＋＋－＝－＜,恰好证得结果.
493n36n36又易知当n＝1,2,3时,不等式显然成立. 161
因此,? 2＜.
36i＝1i
n
n?n＋1?n
例2 设n∈N,求证:＜?
2k＝1
*
?n＋1?2
k?k＋1?＜.
2
分析 因为k?k＋1?>k2＝k,
所以?
k＝1
n
k?k＋1?>?k＝
k＝1
n
n?n＋1?
,左边得证. 2
又因为k?k＋1?＜?k＋1?2＝k＋1, 所以?
k＝1n
n?n＋3?n?n＋3??n＋1?2
k?k＋1?＜? (k＋1)＝,≥,放大了,得不到所证结论,于是应该作
222k＝1
n
调整.
事实上,k?k＋1?＜ 所以?
k＝1n
n
11
k2＋k＋＝k＋,
42
1k＋? k?k＋1?＜? ??2?k＝1
n?n＋1?nn2＋2n?n＋1?2
＝＋＝＜.
2222n?n＋1?n
故＜?
2k＝1
?n＋1?2
k?k＋1?＜. 2
80
例3 求证:16＜?
k＝1
1
＜17. k
证明 因为
80
122＝＜＝2(k－k－1), k2kk＋k－1
所以?
k＝1
1
＜1＋2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(80－79)＝280－1＜281－1＝17. k
又
80
122＝>＝2(k＋1－k),所以 k2kk＋1＋k
1
>2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(81－80) kk＝1
?
＝281－2＝16. 故16＜?
k＝180
1
＜17. k
80
评注 在证明?
k＝1
1
＜17时,对第一项没有进行放缩. k