发布时间 : 星期六 文章[创新方案]高考数学(理)一轮知能检测:第2章 第8节 函数与方程更新完毕开始阅读dcff6896720abb68a98271fe910ef12d2bf9a939
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第八节 函数与方程
[全盘巩固]
2
1.函数f(x)=ln(x+1)-的一个零点所在的区间是( )
xA.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
2
解析:选B 由题意知,函数f(x)=ln(x+1)-的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),结合四
x2
个选项可知,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)<0,f(2)>0,所以函数f(x)=ln(x+1)-的x一个零点所在的区间是(1,2).
1?x1
2.若x0是方程??2?=x3的解,则x0属于区间( ) 2?12111
,1 B.?,? C.?,? D.?0,? A.??3??23??32??3?1?x1?1?解析:选C 构造函数f(x)=?-x,则函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线,又f?2??3?31?1?1?1?1?=?1?1-?1?1<0,所以f?1?·?1?<0,故函数的零点所在区间为?1,1?,=?->0,ff?2?3?3?3?2??2?2?2?3?3??2??32?1?x1?11?即方程?=x的解x0属于区间,. ?2??32?3
3.(2014·金华模拟)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是( )
11111111-,? B.?-,? C.?,? D.?,? A.??24??42??42??42?
m≠2,??
解析:选C 依题意,结合函数f(x)的图象分析可知m需满足?f?-1?f?0?<0,
??f?1?f?2?<0,m≠2,??11
即?[m-2-m+?2m+1?]?2m+1?<0,解得 42 ??[m-2+m+?2m+1?][4?m-2?+2m+?2m+1?]<0, 1?x1?1?x4.(2014·济南模拟)设函数f1(x)=log2x-?,f(x)=logx-的零点分别为x1,x2,?2?22?2?则( ) A.0 匠心教育系列 1 匠心文档,专属精品。 1?1?1?x2=0,则log2x1-?1?解析:选A 依题意知x1>x2>0,且log2x1-?x1=0,logx2-?2??2??2?21?1?1?x2,所以log2x1+log2x2=log2x1x2=?1?x1-?1?x2<0=log21,x1=logx2-?x2=-log2x2-?2??2??2??2?2所以0 5.已知函数f(x)=ax+x-b的零点x0∈(n,n+1)(n∈Z),其中常数a,b满足2a=3,3b =2,则n的值为( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 解析:选A a=log23>1,b=log32<1,令f(x)=0,得ax=-x+b.在同一平面直角坐标系中画出函数y=ax和y=-x+b的图象,由图可知,两函数的图象在区间(-1,0)内有交点,所以函数f(x)在区间(-1,0)内有零点,所以n=-1. 6.(2014·开封模拟)偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+1,则关于x的方程f(x)=lg(x+1)在x∈[0,9]上解的个数是( ) A.7 B.8 C.9 D.10 解析:选C 依题意得f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以2为周期的函数.在平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象与y=lg(x+1)的图象(如图所示),观察图象可知,这两个函数的图像在区间[0,9]上的公共点共有9个,因此,当x∈[0,9]时,方程f(x)=lg(x+1)的解的个数是9. 2??x+2x-3,x≤0, 7.函数f(x)=?的零点个数为________. ?-2+ln x,x>0? ?x≤0,?x>0,?? 解析:法一:令f(x)=0,得?2或?解得x=-3或x=e2,所以 ???x+2x-3=0?ln x=2, 函数f(x)有两个零点. 法二:画出函数f(x)的图象(图略)可得,图象与x轴有两个交点,则函数f(x)有两个零点. 答案:2 匠心教育系列 2 匠心文档,专属精品。 ??x, x≤0, 8.(2014·杭州模拟)已知函数f(x)=?2若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的 ?x-x,x>0,? 零点,则实数m的取值范围为__________. 解析:由g(x)=f(x)-m=0,得f(x)=m,作出函数y=f(x)的图象,当x>0时,f(x)=x2111 x-?2-≥-,所以要使函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,只需直线y=m与-x=??2?441 函数y=f(x)的图象有三个交点即可,如图,只需- 4 1 -,0? 答案:??4? 9.(2014·南宁模拟)已知函数f(x)=ln x+3x-8的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,则a+b=________. 解析:∵f(2)=ln 2+6-8=ln 2-2<0,f(3)=ln 3+9-8=ln 3+1>0, 且函数f(x)=ln x+3x-8在(0,+∞)上为增函数,∴x0∈[2,3],即a=2,b=3. ∴a+b=5. 答案:5 10.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0). (1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点; (2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围. 解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1. ∴函数f(x)的零点为3或-1. (2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,∴b2-4a(b-1)>0恒成立, 即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4×(4a)<0?a2-a<0,解得0 11.已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ e2 (x>0). x (1)若g(x)=m有实数根,求m的取值范围; (2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根. e2 解:(1)法一:∵g(x)=x+≥2e2=2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e, x+∞),因此,只需m≥2e,g(x)=m就有实数根. 匠心教育系列 3 匠心文档,专属精品。 e2 法二:作出g(x)=x+(x>0)的大致图象如图: x 可知若使g(x)=m有实数根,则只需m≥2e. (2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)e2 =x+(x>0)的大致图象.∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2, x ∴f(x)的图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞). 12.是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴有且只有一个交点.若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由. 88 a-?2+>0,∴若存在实数a满足条件, 解:∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9??9?9 则只需f(-1)·f(3)≤0即可.f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-1 a)(5a+1)≤0,所以a≤-或a≥1.检验:①当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x. 5 令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1. 1136136 ②当f(3)=0时,a=-,此时f(x)=x2-x-.令f(x)=0,即x2-x-=0, 5555521 解得x=-或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-. 551 -∞,-?∪(1,+∞). 综上所述,a的取值范围是?5?? [冲击名校] 1.已知函数f(x)满足f(x)+1= 1 ,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(-1,1]内,函f?x+1? 数g(x)=f(x)-mx-m有两个零点,则实数m的取值范围是( ) 11 0,? B.?,+∞? A.??2??2?110,? D.?0,? C.??3??2? 匠心教育系列 4