发布时间 : 星期三 文章【精选8套高考试卷】2019届高考数学北师大版一轮复习讲义：第4讲函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用更新完毕开始阅读de148d5af021dd36a32d7375a417866fb94ac044
m＝1－2sinx＋3sin 2x＝cos 2x＋3sin 2x π???π?＝2sin?2x＋?，x∈?，π?. 6???2?13?π?7
设2x＋＝t，则t∈?π，π?，
6?6?6
13?m?7
∴题目条件可转化为＝sin t，t∈?π，π?有两个不同的实数根．
6?2?613?m?7
∴y1＝和y2＝sin t，t∈?π，π?的图像有两个不同交点，如图：
6?2?6
2
1?m?由图像观察知，的取值范围是?－1，－?，
2?2?故m的取值范围是(－2，－1)． 引申探究
本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是． 答案 [－2,1)
1?m?解析 由上例题知，的取值范围是?－1，?， 2?2?∴－2≤m<1，
∴m的取值范围是[－2,1)． 命题点3 三角函数图像性质的综合
典例 (2017·潍坊模拟)已知函数f(x)＝3sin?2ωx＋(1)求函数f(x)的解析式；
?
?
π?π (ω>0)的图像与x轴相邻两个交点的距离为. ?3?2
?π?求当m取得最小值
(2)若将f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图像恰好经过点?－，0?，
?3??π7π?时，g(x)在?－，?上的递增区间．
?612?
解 (1)函数f(x)的图像与x轴相邻两个交点的距离为＝1，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin?2x＋
ππ2π
，得函数f(x)的最小正周期为T＝2×＝，得ω222ω
?
?
π??. 3?
π?π???(2)将f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)＝3sin?2?x＋m?＋?＝3sin?2x＋2m＋?的图3?3???像，根据g(x)的图像恰好经过点?－
?π，0?，
?
?3?
?
?
π?π??2π?可得3sin?－＋2m＋?＝0，即sin?2m－?＝0，
333
??
所以2m－
πkππ＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)， 326
因为m>0，
π
所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.
6此时，g(x)＝3sin?2x＋
??
2π?
. 3??
2π?π11π??π7π?因为x∈?－，?，所以2x＋∈?，.
6?3?3?612??
π?2π?ππ??π
当2x＋∈?，?，即x∈?－，－?时，g(x)是增加的，
12?3?32??62π?3π11π??5π7π?当2x＋∈?，，即x∈?，?时，g(x)是增加的． ?6?3?2?1212?
π??5π7π??π7π??π
综上，g(x)在区间?－，?上的单调递增区间是?－，－?和?，?.
12??1212??612??6
思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图像的交点个数．
(3)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． 跟踪训练 (1)已知角φ的终边经过点P(－4,3)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像的相邻两条对称轴之π?π?间的距离等于，则f??的值为．
2?4?4
答案 － 5
解析 由角φ的终边经过点P(－4,3)， 43
可得cos φ＝－，sin φ＝. 55
根据函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于解得ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)， 4?π??π?∴f??＝sin?＋φ?＝cos φ＝－.
5?4??2?
π???π??π?(2)若函数f(x)＝sin?ωx＋?(ω>0)满足f(0)＝f??，且函数在?0，?上有且只有一个零点，则f(x)的最
6?2???3??小正周期为． 答案 π
ππππ?π??π?解析 ∵f(0)＝f??，∴x＝是f(x)图像的一条对称轴，∴f??＝±1，∴×ω＋＝＋kπ，k∈Z， 6662?3??6?π
∴ω＝6k＋2，k∈Z，∴T＝(k∈Z)．
3k＋1
π2ππ，可得周期为＝2×， 2ω2
?π?又f(x)在?0，?上有且只有一个零点，
2??
∴∴
πTππ2π4π≤≤－，∴≤T≤， 6426332ππ4π11≤≤(k∈Z)，∴－≤k≤， 33k＋13126
又∵k∈Z，∴k＝0，∴T＝π.
三角函数图像与性质的综合问题
?xπ??xπ?典例 (12分)已知函数f(x)＝23sin?＋?·cos?＋?－sin(x＋π)．
?24??24?
(1)求f(x)的最小正周期； (2)若将f(x)的图像向右平移小值．
思维点拨(1)先将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式再求周期； (2)将f(x)解析式中的x换成x－规范解答
π
，得g(x)，然后利用整体思想求最值． 6
π
个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最6
?xπ??xπ?解 (1)f(x)＝23sin?＋?cos?＋? ?24??24?
－sin(x＋π)＝3cos x＋sin x[3分]
?π?＝2sin?x＋?，[5分]
3??
2π
于是T＝＝2π.[6分]
1
?π??π?(2)由已知得g(x)＝f?x－?＝2sin?x＋?，[8分]
6?6???
π?π7π?
∵x∈[0，π]，∴x＋∈?，?，
6?6?6
?π??1?∴sin?x＋?∈?－，1?，[10分]
6??2??
∴g(x)＝2sin?x＋
??
π?
?∈[－1,2]．[11分] 6?
故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]
解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤： 第一步：(化简)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；
?22第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝a＋b·?sin x·
?
22b?
＋cos x·2222?； a＋ba＋b?
a
第三步：(求性质)利用f(x)＝a＋bsin(x＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
?1．(2017·全国Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin?2x＋
?
2π?
?，则下面结论正确的是( ) 3?
π
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
6π
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
121π
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
261π
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
212答案 D
解析 因为y＝sin?2x＋
?
?
2π?2ππ??＝cos?2x＋－?＝ ?3?32??
π?1?cos?2x＋?，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，
6?2?π?π?π??再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2?x＋?＝cos?2x＋?.故选D.
6?12?12??2．(2018·洛阳统考)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图像向右平移φ个单位长度，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是( ) A.
ππ3π5π
B. C. D. 8484
答案 C
解析 f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2cos?2x－函数为y＝2cos?2x－
?
?
π?
，将函数f(x)的图像向右平移φ个单位长度后所得图像对应的4??
?
?
π
－2φ??，且该函数为偶函数， 4?
π3π
故2φ＋＝kπ(k∈Z)，所以φ的最小正值为. 48
?3．(2017·衡水中学模拟)若函数y＝sin(ωx－φ)?ω>0，|φ|<
?
φ的值分别是( )
π??－π，π?上的图像如图所示，
在区间则ω，?2?2????
π
A．ω＝2，φ＝
31π
C．ω＝，φ＝
23
2π
B．ω＝2，φ＝－
312π
D．ω＝，φ＝－
23