发布时间 : 星期日 文章小学奥数题型与解题思路大全1-60讲更新完毕开始阅读de2cf9b90a4e767f5acfa1c7aa00b52acec79c40
例如，面积均为4平方分米的正方形和圆，正方形的周长为8分米；而
的周长小于正方形的周长。
【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。
为0.433×6=2.598（平方分米）。
方形的面积。
推论 由这一面积变化规律，可以推出下面的结论： 在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。
例如，周长为4分米的正方形面积为1平方分米；而周长为4分米的圆，
于和它周长相等的正方形面积。
【体积变化规律】在表面积一定的正多面体（各面为正n边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数越多，体积越大。
例如，表面积为8平方厘米的正四面体S—ABC（如图1.30），它每一个面均为正三角形，每个三角形面积为2平方厘米，它的体积约是1.1697立方厘米。而表面积为8平方厘米
长约为1.1546厘米，体积约为1.539立方厘米。显然，正方体体积大于正四面体体积。
推论 由这一体积变化规律，可推出如下结论：
在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。
例如，表面积为8平方厘米的正四面体，体积约为1.1697立方米；表面积为8平方厘米的正六面体（正方体），体积约为1.539立方厘米；而表面积是8平方厘米的球，体积却约有2.128立方厘米。可见上面的结论是正确的。
【排序不等式】 对于两个有序数组： a1≤a2≤…≤an 及b1≤b2≤…≤bn， 则a1b1+a2b2+……+anb抇n（同序）
T≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n（乱序）≥a1b
n+a2bn-1+……+anb1（倒序）（其中b抇1、b抇2、……、b抇n 为b1、b2、……、bn的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn时，式中等号成立。）由这一不等式可知，同序积之和为最大，倒序积之和为最小。例题：设有10个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、……九、十个人的桶，分别需要1、2、3、……、9、10分钟。问：如何安排这10个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？
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解 设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，……，9，10。 打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组1，2，3，……，9，10。
根据排序不等式，最小积的和为倒序，即
1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1 =（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2 =（10+18+24+28+30）×2 =220（分钟）
其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法。
3、最优方案与最佳策略
【最优方案】
例1 某工厂每天要生产甲、乙两种产品，按工艺规定，每件甲产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、1、4、0小时；每件乙产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、2、0、4小时。已知A、B、C、D四台设备，每天最多能转动的时间分别是12、8、16、12小时。生产一件甲产品该厂得利润200元，生产一件乙产品得利润300元。问：每天如何安排生产，才能得到最大利润？
（中国台北第一届小学数学竞赛试题）
讲析：设每天生产甲产品a件，乙产品b件。由于设备A的转动时间每天最多为12小时，则有：（2a＋2b）不超过12。 又（a＋2b）不超过8， 4a不超过16， 4b不超过12。
由以上四个条件知，
当b取1时，a可取1、2、3、4； 当b取2时，a可取1、2、3、4； 当b取3时，a可取1、2。
这样，就是在以上情况下，求利润200a＋300b的最大值。可列表如下：
所以，每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时，能得到最大利润1400元。 例2 甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂。它们生产同一规格的成衣，每个厂的人员和设备都能进行上衣和裤子生产。由于各厂的特点不同，甲厂每月
联合生产，尽量发挥各自的特长多生产成衣。那么现在比过去每月能多生产成衣______套。
（1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
的时间生产上衣。所以，甲厂长于生产裤子，乙厂长于生产上衣。 如果甲厂全月生产裤子，则可生产
如果乙厂全月生产上衣，则可生产
把甲厂生产的裤子与乙厂生产的上衣配成2100套成衣，这时甲厂生产150条裤子的时间可用来生产成套的成衣
故现在比过去每月可以多生产60套。 【最佳策略】 例1 A、B二人从A开始，轮流在1、2、3、……、1990这1990个数中划去一个数，直到最后剩下两个数互质，那么B胜，否则A胜。问：谁能必胜？制胜的策略是什么？
（《中华电力杯》少年数学竞赛试题） 讲析：将这1990个数按每两个数分为一组；（1、2），（3、4），（5、6），…，（1989、1990）。
当A任意在括号中划去一个时，B就在同一个括号中划去另一个数。这样B就一定能获胜。
例2 桌上放有1992根火柴。甲乙两人轮流从中任取，每次取得根数为1根或2根，规定取得最后一根火柴者胜。问：谁可获胜？ （1992年乌克兰基辅市小学数学竞赛试题）
讲析：因为两人轮流各取一次后，可以做到只取3根。谁要抢到第1992根，谁就必须抢到第1989根，进而抢到第1986、1983、1980、…、6、3根。 谁抢到第3根呢？自然是后取的人。即后取的可以获胜。
后者获胜的策略是，当先取的人每取一次火柴梗时，他紧接着取一次，每次取的根数与先取的加起来的和等于3。
例3 有分别装球73个和118个的两个箱子，两人轮流在任一箱中任意取球，规定取得最后一球者为胜。问：若要先取者为获胜，应如何取？ （上海市数学竞赛试题）
讲析：先取者应不断地让后者在取球之前，使两箱的球处于平衡状态，即每次先取者取之后，使两箱球保持相等。这样，先取者一定获胜。