发布时间 : 星期一 文章齐民友高数下册上课第08章03节向量的乘法运算更新完毕开始阅读de8a2f509e314332386893a4
第1章 集 合
A ?b C
?a ?c 图3.3.1
B
7
8 离 散 数 学
3.2 (经)两向量的向量积
我们定义向量的另一种乘法运算．
定义3.2 设向量a,b,规定向量a与b的向量积为一新的向量,记作a′b，它的模与方向分别为
(1) a?babsinq，(q=(a·,b)) (2) a′b同时垂直于a与b,且a,b,a′b满足右手规则，即右手的四个
手指从a的正向以不超过p的转角转向b的正向握拳时，大拇指的指向就是a′b的方向.
向量的向量积又常称作向量的叉积或外积． 不难看出,两向量的向量积有如下的几何意义:
①a′b的模: a?ba鬃bsinq=a鬃(bsinq)=SY 即模a′b表示以a与b为边的平行四边形的面积SY(图3.5)．
②a′b的方向:由定义知,a′b与a和b所确
b bsin? 定的平面相垂直.
? 由定义,容易推得,对任意向量a,b,有
a 0?aa?00；a?a0；a?b-b?a.
图3.5 此外,不作证明地给出向量积的如下运算律: 对任意向量a,b,c及任意实数l，m，
(1) (分配律)(a+b)?ca?cb?c,c?(ab)=c?ac?b；
(2) (数乘结合律)(la)?ba?(lb)l(a?b)；
(la)?(mb)(lm)(a?b)
利用向量积的定义,我们还可得到两向量平行的另一个充分必要条件:
设两向量a,b，则a/b的充分必要条件是a?b0．
事实上，若a,b中有一个为零向量,则命题显然成立.若a,b均非零向量,
由于a?b0等价于a?b0,即a?bsinq0,又a构0,b0,故上式等价于sinq=0,即q=0或q=p,亦即a/b.
第1章 集 合
下面导出用坐标计算向量积的表示式：
设a=axi+ayj+azk，b=bxi+byj+bzk，则有 a?b(axi+ayj+azk)?(bxibyj+bzk)
=(axbx)(i?i)(axby)(i?j)(axbz)(i?k)
+(aybx)(j?i)(ayby)(j?j)(aybz)(j?k) +(azbx)(k?i)(azby)(k?j)(azbz)(k?k)
注意到,对于标准单位向量i,j,k,有i?ij?jk?k0；
i?jk,j?ki,k?ij；j?i-k,k?j-i,i?k-j，于是，有
a?b[(axby)k-(axbz)j]+[-(aybx)k+(aybz)i]+[(azbx)j-(azby)i] =(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k (3.5)
引入行列式记号,即有
a?bayazi+azaa禳xbbj+axy镲azazaxb,axayxbxbk=镲睚ayy镲镲镲铪byb,zbzbxbxbyiryrzjkrbz
=axayazbxbybz(3.6)
（二阶行列式
abcd=ab-cd。懂三阶行列式的同学记住（3.7）简单一些，懂二阶行列式的同学记住（3.6），不懂行列式的同学记住（3.5）。注意足标的排列规律！）或
ijk a?baxayaz (3.7) bxbybz思考题：
5．试根据向量积的定义及坐标表示式导出两向量a,b的夹角公式. 6．试给出两向量平行的充分必要条件的坐标表示式,并与第2节中有关结论进行比较.
9 10 离 散 数 学
【例3.4】 设l是空间中过点A(4,5,2)，B(6,3,3)的直线,点C(3,-4,4)是空间一点，试求点解 作向量ABuuurC,ACuuu到直线rl的距离d.
.如图3.6所示，点C到直线l的距离d是以ABuuur,ACuuur为
邻边的平行四边形的高.但因为AuuuBr′AuuuCr表示该平行四边形的面积,因此
uuuruuurd=AB′AC C
AuuuBrABuuur={2,-2,1},ACuuur={-1,-9,2}， d AuuuBr=22+(-2)2+12=3，
A lB ijkABuuur图3.6
?ACuuur2-21={5,-5,-20},
-1-92AuuuBr?AuuuCr5{1,-1,-4}=512+12+42=152，
故所求距离 d=1523=52． *【例3.5】 设刚体以等角速度w绕l轴旋转,计算刚体上点M的线速度v. 解 刚体旋转时, 可用旋转轴l上的向量ω表示角速度,它的大小ω=w,它的方向按右手法则定出:以右手握住l轴,当四指的转动方ω 向与刚体的转向一致时,竖起的大拇指的指向就是ω的方向(图3.7)． a v设点M到l轴的距离为r=OMuuura,任取l轴上一点记为O,并记M , 若用q表示ω与r的夹角,则有a=rsinq.由物理学知识, 线速率v与角速率ω有关系:
?r v=ωa=ωrsinq，
O 即
图3.7
v=ω?r，
又注意到v垂直于ω和r,且ω,r,v符合右手法则,因此得
v=ω?r．