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高中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习（一）
第一节不等关系与不等式
[知识能否忆起]
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b. 2．不等式的基本性质
2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．
高频考点
1. 比较两个数(式)的大小
S3S5[例1] 已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，试比较与的大小．
a3a5S3S5S3S5
[自主解答] 当q＝1时，＝3，＝5，所以＜；
a3a5a3a5
当q＞0且q≠1时，
35235
S3S5a1?1－q?a1?1－q?q?1－q?－?1－q?－q－1S3S5－＝2－4＝＝＜0，所以＜. 44a3a5a1q?1－q?a1q?1－q?qa3a5q?1－q?
S3S5综上可知＜. a3a5
由题悟法
比较大小的常用方法 (1)作差法：
一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法：
一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：
若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．
[注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．
以题试法
1．(2012·吉林联考)已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是( )
A．c≥b＞a C．c＞b＞a
B．a＞c≥b D．a＞c＞b
解析：选A c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0， ∴c≥b.将题中两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2. 13
a－?2＋>0，∴1＋a2>a. ∵1＋a2－a＝??2?4∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a. 2. 不等式的性质
ab
(2012·包头模拟)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a
dc－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是( )
A．1 C．3
B．2 D．4
(2)∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0， ∴ad＜bc，故①错误．
∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0， ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0， ∴a(－c)＞(－b)(－d)，
abac＋bd
∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0，
dccd故②正确．
∵c＜d，∴－c＞－d，
∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确．
∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确，故选C.
由题悟法
1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．
2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．
以题试法
2．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是( ) A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 11
C．若a＜b＜0，则＜ abba
D．若a＜b＜0，则＞ ab
解析：选B A中，只有a＞b＞0，c＞d＞0时，才成立；B中，由a＜b＜0，得a2＞ab＞b2成立；C，D通过取a＝－2，b＝－1验证均不正确． 3. 不等式性质的应用
典题导入
[例3] 已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．
[自主解答] f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b. f(－2)＝4a－2b.
设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.
???m＋n＝4，?m＝1，?则解得? ?m－n＝－2，???n＝3.
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤f(－2)≤10.即f(－2)的取值范围为[5,10]．
由题悟法
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
以题试法
??－1≤α＋β ≤1，3．若α，β满足?试求α＋3β的取值范围．
??1≤α＋2β ≤3，
解：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
???x＋y＝1，?x＝－1，
?则解得? ?x＋2y＝3，???y＝2.
∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．
第二节
一元二次不等式及其解法
[知识能否忆起]
一元二次不等式的解集
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集的关系，可归纳为：