发布时间 : 星期二 文章湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷（一）数学（理）更新完毕开始阅读def504c76429647d27284b73f242336c1fb9301d
炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(一)
数 学(理科)
命题人：朱海棠 贺祝华 张天平 欧阳普
审题：高三数学备课组 时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
y
1．设复数z＝x＋yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，若＝x＋i，则复数z的共轭
1－i
复数在复平面内对应的点位于(D)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】由已知，y＝(1－i)(x＋i)＝x＋1＋(1－x)i，则y＝x＋1，且1－x＝0，即x＝1，y＝2.
－
所以z＝x－yi＝1－2i，所对应的点(1，－2)位于第四象限，选D.
π
2．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝4，若(3a＋λb)⊥a，则实数λ的值为(B)
3
3322A. B．－ C. D．－ 2233
3
【解析】由已知，(3a＋λb)·a＝0，即3a2＋λb·a＝0，所以3＋2λ＝0，即λ＝－，选B.
2
3．下列说法中正确的是(C)
A．若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为10
B．用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60
C．某种圆环形零件的外径服从正态分布N(4，0.25)(单位：cm)，质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为5.6 cm，则这批零件不合格
D．对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病
【解析】对于A，若x1，x2，…，xn的平均数为5，则2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为2×5＋1＝11，所以说法错误；
对于B，由抽取的号码可知样本间隔为11，则对应的人数为11×5＝55人．若该班学生人数为60，则样本间隔为60÷5＝12，所以说法错误．
对于C，因为μ＝4，σ＝0.5，则(u－3σ，u＋3σ)＝(2.5，5.5)，因为5.6(2.5，5.5)，则这批零件不合格，所以说法正确．
对于D，有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指对该样本所得结论：“吸烟与患肺病有关系”有95%的正确性，所以说法错误．选C.
n
121??4．已知?2x－x?(n∈N*)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项x
的系数是(A)
A．－84 B．84 C．－24 D．24
1?r－nr27－r?14－3r
【解析】由已知，2＝128，得n＝7，所以Tr＋1＝C7(2x)?－x?＝(－1)r·27rCr. 7x
1－
令14－3r＝－1，得r＝5，所以展开式中含项的系数为(－1)5275C57＝－84，选A. x
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在R上单调递增，若a，
b，c成等差数列，且b＞0，则下列结论正确的是(A)
A．f(b)＞0，且f(a)＋f(c)＞0 B．f(b)＞0，且f(a)＋f(c)＜0 C．f(b)＜0，且f(a)＋f(c)＞0 D．f(b)＜0，且f(a)＋f(c)＜0 【解析】由已知，f(b)＞f(0)＝0.因为a＋c＝2b＞0，则a＞－c，从而f(a)＞f(－c)＝－f(c)， 即f(a)＋f(c)＞0，选A.
6．设x为区间[－2，2]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y值落在区1?间??2，3?内的概率为(C)
3513
A. B. C. D. 4828
1?【解析】因为当x∈[－2，0]时，y＝2x∈??4，1?；
当x∈(0，2]时，y＝2x＋1∈(1，5]．
1?21
，3时，x∈[－1，1]，其区间长度为2，所求的概率P＝＝，选C. 所以当y∈??2?42
7．已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x＋1，给出下列四个结论：(B)
π5π
①函数f(x)的最小正周期是2π；②函数f(x)在区间?，?上是减函数；③函数f(x)的
8??8
ππ
图象关于直线x＝对称；④函数f(x)的图象可由函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位84
得到．其中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
π
【解析】f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin?2x＋?.
4??
①因为ω＝2，则f(x)的最小正周期T＝π，结论错误．
ππ3ππ5ππ5π
②当x∈?，?时，2x＋∈?，?，则f(x)在区间?，?上是减函数，结论正
4?28?2?8??8?8
确．
ππ
③因为f??＝2为f(x)的最大值，则f(x)的图象关于直线x＝对称，结论正确．
8?8?
πππ
④设g(x)＝2sin 2x，则g?x＋?＝2sin 2?x＋?＝2sin?2x＋?＝2cos 2x≠f(x)，结
2??4??4??
论错误，选B.
8.已知命题p：若a＞2且b＞2，则a＋b＜ab；命题q：
－1)·2＝1，则下列命题中为真命题的是(A)
x
x>0，使(x
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
a＋b111111
【解析】若a＞2且b＞2，则<且<，得＋<1，即<1，从而a＋b＜ab，所以命
a2b2abab
1?x?题p为真．因为直线y＝x－1与函数y＝?2?的图象在(0，＋∞)内有唯一交点，则方程x－1
1?x?＝?2?有正数解，即方程(x－1)·2x＝1有正数解，所以命题q为真，选A. 9．已知实数x，y满足|x|＋|y|≤1，则z＝2|x|－|y|的最大值为(D) A．5 B．4 C．3 D．2
a＋b≤1，
?
【解析】令|x|＝a，|y|＝b，则?a≥0，
?b≥0，
且z＝2a－b.作可行域，平移直线l：b＝2a－z，
由图知，当直线l过点(1，0)时，直线l的纵截距最小，从而z为最大，且zmax＝2×1－0＝2，选D.
10．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，AB⊥AD，BD⊥CD.将该四边形沿对角线BD折成一个直二面角A―BD―C，则四面体ABCD的外接球的体积为(B)
23A.π B.π 32C．2π D．3π
【解析】如图，因为平面ABD⊥平面BCD，BD⊥CD，则CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB. 因为AB⊥AD，则AB⊥平面ACD，从而AB⊥AC，所以BC是外接球的直径．
3
在Rt△BDC中，BC＝BD2＋CD2＝3，则球半径R＝.
2
4?3?33
所以外接球的体积V＝π＝π，选B.
3?2?2
22xy
11．设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若双曲
ab
线上存在点M满足|MF1|＝2|MO|＝2|MF2|，则双曲线的离心率为(C)
A．6 B．3 C.6 D.3
【解析】过点M作x轴的垂线，垂足为A，因为|MO|＝|MF2|，则A为OF2的中点，所以
c3c9|AF2|＝，|AF1|＝.设|MF2|＝m，则|MF1|＝2m.在Rt△MAF1中，|MA|2＝4m2－c2.
224
22c9c
在Rt△MAF2中，|MA|2＝m2－，则4m2－c2＝m2－，即3m2＝2c2.
444
c
因为|MF1|－|MF2|＝2a，则m＝2a，所以3×(2a)2＝2c2，即c2＝6a2，所以e＝＝6，选
a
C.
12．对于给定的正整数n，设集合Xn＝{1，2，3，…，n}，AXn，且A≠记I(A)为集合A中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的所有I(A)的和记为S(n)，则S(2 018)＝(D)
A．2 018×22 018＋1 B．2 018×22 017＋1 C．2 017×22 017＋1 D．2 017×22 018＋1
【解析】对于集合Xn，满足I(A)＝1的集合A只有1个，即{1}；满足I(A)＝2的集合A有2个，即{2}，{1，2}；满足I(A)＝3的集合A有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；…；
－－
满足I(A)＝n的集合A有2n1个，所以S(n)＝1＋2·2＋3·22＋…＋n·2n1.
由错位相减法，得S(n)＝(n－1)2n＋1，所以S(2 018)＝2 017×22 018＋1，选D. 二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．
ππ1713．已知cos?α－?＝，则sin?2α－?＝__－__．
93?36???
πππππ7
【解析】sin?2α－?＝sin?2?α－?＋?＝cos 2?α－?＝2cos2?α－?－1＝－.
96?3?3?3?2??????
1→→→→1→
14．如图，在△ABC中，AD＝DC，P是线段BD上一点，若AP＝mAB＋AC，则实数
36
1m的值为____．
3→1→→→→→2→
【解析】因为AD＝DC，则AC＝4AD，所以AP＝mAB＋AD.
33
21
因为B，P，D三点共线，则m＋＝1，所以m＝. 33
x
15．已知函数f(x)＝|2－1|－a，若存在实数x1，x2(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)＝－1，则a的取值范围是__(1，2)__．
【解析】令f(x)＝－1，则|2x－1|＝a－1.据题意，直线y＝a－1与函数y＝|2x－1|的图象两个不同的交点，由图可知，0＜a－1＜1，即1＜a＜2.
2
1＋?an(n∈N*)，则数列{an}16．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且Sn＝4－??n?n的通项公式是an＝__n－1__．
222?22
1＋?an，则?2＋?an＝?1＋【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝?1＋n－1?an－1－??n??n????n－1?an
－1，
an－1anan1an?1?n－1
即＝，所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，则＝?2?，即an
n2（n－1）n2nn＝n－1. 2
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．