发布时间 : 星期一 文章黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三数学第二次模拟试题理(含解析)更新完毕开始阅读df455c8524fff705cc1755270722192e453658ea
【详解】（1）解：M点的轨迹是以22,0，?22,0为焦点，长轴长为6的椭圆，其标
????x2准方程为?y2?1.
9（2）解：设A?x1,y1?，B?x2,y2?，由AD??DB得y1???y2……① 由1???2得k?0，
uuuvuuuvx2y?22k由y?kx?22k得x?代入?y2?1整理
9k?1?9k?y22?42ky?k2?0……②
显然②的判别式???恒成立， 由根与系数的关系得y1?y2??42k……③ 21?9kk2……④ y1y2??21?9k由①③得y1?42?k42ky??，2代入④整理得
?1???1?9k2?1???1?9k2????1?9k2?32??1???12?321. ???2?设f????????2，则由对勾函数性质知f???在?1,2?上为增函数，故得0?f????7或k??7. 1. 2所以1?9k2?64，即k的取值范围是k?【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.
21.已知函数f(x)?e?ln(x?m)，其中m?1.
（1）设x?0是函数f(x)的极值点，讨论函数f(x)的单调性； （2）若y?f(x)有两个不同的零点x1和x2，且x1?0?x2， （i）求参数m的取值范围； （ii）求证：ex2?x1x?ln(x2?x1?1)?e?1
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【答案】（1）见解析；（2）（i）m?e，（ii）见解析. 【解析】 【分析】
（1）求函数导数，由f'?0??1?1?0可得解，进而得单调区间； m（2）（i）分析函数导数可得函数单调性，结合x??m,f(x)???,x???,f(x)???，所以f(0)?1?lnm?0，可得解；
（ii）先证当m?e时，若f(x)?ex?ln(x?e)?0，得存在f(x3)?f(0)?0，进而证x3??1，
t再证m?e时，x1??1，可得t?x2?x1?1，构造函数h(t)?e?ln(t?1)，利用函数单调性
即可证得.
【详解】（1）f'?x??e?x1， x?m1?0，得m?1，经检验满足题意， m若x?0是函数f(x)的极值点，则f'?0??1?此时f'?x??e?x1，f'?x?为增函数， x?1所以当x?(?1,0),f'(x)?0，f(x)单调递减； 当x?(0,??),f'(x)?0，f(x)单调递增 （2）（i）m?1， f'?x??e?x1， x?mxh'x?e???hx?f'x记????，则
1?x?m?2?0，
知f'?x?在区间??m,???内单调递增. 又∵f'?0??1?1?0， f'??m?1??e1?m?1?0， m∴f'?x?在区间?1?m,0?内存在唯一的零点x0，
0即f'?x0??e?x11?0，于是ex0?， x0??ln?x0?m?.
x0?mx0?m当?m?x?x0时， f'?x??0,f?x?单调递减； 当x?x0时， f'?x??0,f?x?单调递增.
若y?f(x)有两个不同的零点x1和x2，且x1?0?x2，
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易知x??m,f(x)???,x???,f(x)???，所以f(0)?1?lnm?0，解得m?e. （ii）当m?e时有f(x)?ex?ln(x?e)，令f(x)?ex?ln(x?e)?0.
由（i）中的单调性知，存在f(x3)?f(0)?0，当x?(x3,0),f(x)?0. 111ef(?1)??ln(e?1)??ln(e?1)??ln1.7?ln?0，所以x3??1.
e221.7下证当m?e时，x1??1.
xx由f(x)?e?ln(x?m)?e?ln(x?e)，
xx所以f(x3)?e?ln(x3?m)?e?ln(x3?e)?0，
33由（i）知，当x?(x1,x2),f(x)?0，得x1?x3??1.. 所以x2?x1?1，令t?x2?x1?1 要证ex2?x1?ln(x2?x1?1)?e?1，即证et?ln(t?1)?e?1.
tt令h(t)?e?ln(t?1),h'(t)?e?11单调递增，且h'(1)?e??0， t?12所以h'(t)?0,h(t)单调递增，所以h(t)?h(1)?e?ln2?e?1.得证.
【点睛】本题主要研究了函数的极值和函数的单调性，考查了构造函数的思想及放缩法证明不等式，属于难题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系原点O为极点，x轴正方向为极轴，已知曲线C1的方程为?x?1??y2?1，C2的方程为x?y?3，C3是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求C1与C2的极坐标方程；
（2）若C1与C3的一个公共点A（异于点O），C2与C3的一个公共点为B，求OA?的取值范围.
.23OB- 19 -
【答案】（1）C1的极坐标方程为??2cos?，C2的极坐标力程为??（2）OA?【解析】 【分析】
（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可； （2）设C3极坐标方程为???，???0,3
cos??sin?3?(?1,1) OB?????,??R，分别与C1和C2的极坐标方程联立，2?可得OA?2cos?和OB?【详解】解：（1）曲线C1的方程为?x?1??y2?1，C1的极坐标方程为??2cos?， C2的方程为x?y?3，其极坐标力程为??（2）C3是一条过原点且斜率为正值的直线，C3的极坐标方程为???，???0,联立C1与C3的极坐标方程?3?3???联立C1与C2的极坐标方程?，即cos??sin?，得??cos??sin??????OB?3，
cos??sin?所以OA?3???2cos??cos??sin? ?2cos?????， OB4??的23，进而看化简求值.
cos??sin?3.
cos??sin????? ?,??R，
2????2cos?，得??2cos?，即OA?2cos?，
????3???OA????1,1?. ??0,又??，所以OB?2?【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.
23.选修4-5：不等式选讲
（1）已知a,b,c?R?，且a?b?c?1，证明
111???9； abc - 20 -