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圆与圆的位置关系(3)
中考要求
板块 圆与圆的位置关系 A级要求 了解圆与圆的位置关系
考试要求 B级要求 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题 C级要求 知识点睛
一、两圆的公切线
1. 两圆的外公切线
（1） 求两圆外公切线长：构造外公切线、圆心距、大圆与小圆半径的差为边的特征直角三角形．
如图，设大圆的半径为R，小圆的半径为r，两圆的圆心距为d，两外公切线的夹角为?，则两
2?R?r圆的外公切线长为：l?d2??R?r?，sin?
2dBCRO1ldO2ArαP（2） 求两圆内公切线长：构造外公切线、圆心距、大圆与小圆半径的和为边的特征直角三角形． 2. 两圆的内公切线
BdαAClrO2
RO1 如图，设大圆的半径为R，小圆的半径为r，两圆的圆心距为d，两外公切线的夹角为?，则两圆的
2?R?r内公切线长l?d2??R?r?，sin?
2d
例题精讲
一、两圆的公切线
【例1】 已知两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为9cm，则两圆的公切线有 条；
【例2】 两圆半径分别为8和3，外公切线长为9，则两圆的位置关系是 ( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
15.4.1圆与圆的位置关系（3）
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ABCO1O2
⊙O′ 【例10】 如图，与⊙O外离，设P和Q是一条内公切线和两条外公切线的交点．那么PQ的长是（ ）A．内公切线长和外公切线长的平均数 B．当且仅当⊙O和⊙O′的半径相等时，等于一条外公切线长 C．永远等于一条外公切线的长 D．大于一条外公切线的长
Q
OO'P
⊙O2分别相切于A【例3】 如图，已知⊙O1与⊙O2外切，外公切线AB与⊙O1、、B两点，AB与O1O2的夹
角?P?30?，若O1O2?2，求两圆的半径及外公切线长．
ABO1O2P
⊙O2相交，公切线与连心线的夹角为30?，则两圆公切线【例4】 半径分别为R、r(R?r)的两个圆⊙O1、长为______________．
ACO1BO2P
【例5】 已知，如图⊙O1与⊙O2外离，AB、CD两条内公切线交于P点，若O1O2?10，且⊙O1的半径为2，
⊙O2的半径为3，求两条内公切线长及它们所夹锐角的度数．
ADPO2CBO1
【例11】 如图，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B为切点，则
?AOB?__________．
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AOBO'
【例12】 两圆内切于P，大圆的弦AB切小圆于C，则?APC??BPC．
AM ECBNPQ
TC2【例13】 已知：如图，⊙O1与⊙O2内切于点T，⊙O1的弦TA若DC?5，?，、TB交⊙O2于点C和D，
TA3求AB的长．
ACO1BDO2T
【例14】 半径为R、r的两圆O、O?外切于C，外公切线AB分别切两圆于A、B两点，试求?ABC的面
积．
ABOCO'
⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P的割线，⊙O1于A．【例15】 已知：如图所示．交⊙O2于C，BC切⊙O2于C，过点O1作直线AB交BC于B．求证：AB?BC．
A
O1DPO2CB
【例16】 如图，?O1和?O2为Rt?ABC的内切等圆，AC?4，BC?3，求?O1的半径r．
C
BO1O2A
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【例17】 如图，?O1，?O2??On为Rt?ABC的内切等圆，AC?4，BC?3，求?O1的半径r．
C
【例18】 如图，若两等圆?O1，?O2与Rt?ABC的边BC及AC，AB的延长线相切，且两等圆外切，求此
时两等圆的半径r．
O1O2BACBO1O2?????????OnA
【例19】 若将n个等圆?O1，?O2??On，放到?ABC外相邻两圆相外切，且与线段BC相切，与线段
AB，AC的延长线相切，求这些圆的半径r．
O1OnBAC
二、连心线的性质
⊙O2相交于点A⊙O2的半【例20】 已知⊙O1、、B，公共弦与连心线O1O2交于点G，若AB?48，⊙O1、40，那么?AO1O2的面积是________________． 径分别是30，
【例21】 已知两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过O2，则四边形O1AO2B是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【例22】 如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，它们的半径之比为2:3，AB是它们的外公切线，A、B是切点，
且AB?46，则O1O2的值是_____________．
TO1AO2B
【例23】 已知两圆半径分别是4，5，公共弦长为6，求两圆的圆心距．
15.4.1圆与圆的位置关系（3）
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【例24】 已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且AB?4cm，两圆半径分别为6cm和4cm，求O1O2的长．
【例25】 已知⊙O1、两圆半径分别为3cm和5cm，且?O1AO2?120?，求AB的长． ⊙O2相交于A、B两点，
AO1CBO2
【例26】 半径为13和半径为5的两个圆相交，圆心距为12，则这两圆公共弦长为______________．
【例27】 如图，把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2，两圆相交于A、B，且O1A?O2A，则图中阴影部分
的面积是_____________．
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