发布时间 : 星期四 文章《弹性力学》试题参考答案更新完毕开始阅读dff00d627e21af45b307a8c4
?xy?将式（4）代入式（3），有
3q02212x(y?h) （4）
4lh36q021h2)???y?0 或 ??y??6q0x(y2?1h2) x(y?33lh4?y?ylh4积分得
?6q0y??lh3x(y33?14h2y)?f2(x) 利用边界条件：
?0yy??h??qlx，?y2y??h?0
2得：
???6q0h31h3)??lh3x(?24?8f2(x)??q0lx
???6q03lh3x(h24?18h3)?f2(x)?0 由第二式，得
f2(x)??q02lx 将其代入第一式，得
?q02lx?q0q2lx??0lx 自然成立。 将f2(x)代入?y的表达式，有
?6qy??0y312qlh3x(3?4hy)?02lx 所求应力分量的结果：
?x?MyI??2q0lh3x3y ??3q0xylh3x2(y2?14h2) ?6qy??0y312qlh3x(3?4hy)?02lx
校核梁端部的边界条件：
（1）梁左端的边界（x = 0）：
6）
5）
5
（（
?h2?h2?xx?0dy?0，??xyh2?h2x?0dy?0 代入后可见：自然满足。
（2）梁右端的边界（x = l）：
???h2?h2?xx?ldy??h2?h2h2?h22q0x3?ydy?0
lh3x?l3q0x22h2q0l (y?)dy?342lhx?l2qx?03y2lh3h2?h2?xyx?ldy??h2?h2?xx?lydy??h2?h22qldy??03y33lhx?l3h2?h2q0l2???M
6可见，所有边界条件均满足。
检验应力分量?x,?xy,?y是否满足应力相容方程： 常体力下的应力相容方程为
22???(?x??y)?(2?2)(?x??y)?0 ?x?y2将应力分量?x,?xy,?y式（6）代入应力相容方程，有
?2(???)??12q0xy，?2(???)??12q0xy
yy?y2xlh3?x2xlh32224q???(?x??y)?(2?2)(?x??y)??30xy?0
?x?ylh2显然，应力分量?x,?xy,?y不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。 3．一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷q作用，如图所示。试：
（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数w(x)；
（2）用最小势能原理或Ritz法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）。
（13分）
题二（3）图
6
解：两种形式的梁挠度试函数可取为
w(x)?x2(A1?A2x?A3x2???) —— 多项式函数形式
w(x)??Am(1?cosm?1n2m?x) —— 三角函数形式 l此时有：
w(x)?x2(A1?A2x?A3x2???)x?0?0
x?0w?(x)?2x(A1?A2x?A3x2???)?x2(A2?A3x???)?0
w(x)??Am(1?cosm?1nn2m?x)?0 lx?0?0
x?0w?(x)??Amm?1l2m?xsin2m?l即满足梁的端部边界条件。
梁的总势能为
l1l?d2w?12???Π??EI?dx?qw(x)dx?kw(l) 2??020?2dx??2取：w(x)?A1x，有
2d2w2w(l)?Al?2A， 112dx代入总势能计算式，有
l1l12222EI(2A)dx?qxAdx?k(Al111) ??0022Π?2?2EIlA1?qA13124l?kA1l 32由?Π?0，有
q344EIlA?kAl?l?0 113q0l3 A1?43(4EIl?kl)代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为
q0l32 w(x)?x43(4EIl?kl)?y?2MPa，?xy?1MPa，?yz?0，?x?0，?z?1MPa，4．已知受力物体内某一点的应力分量为：
7
?zx?2MPa，试求经过该点的平面x?3y?z?1上的正应力。
（12分）
解：由平面方程x?3y?z?1，得其法线方向单位矢量的方向余弦为
l?11?3?1222?111，m?31?3?1222?311，n?11?3?1222?111
?012??l??1??， ?L???m??1?3?
?ij??120??????11?n??1???201???????N?012??1?1T??3?1 ?131????L?????L??120????1111????201???1??1???129??573??3???2.64 MPa
1111?1???《弹性力学》课程考试试卷
学号： 姓名： 工程领域： 建筑与土木工程 题号 得分 一 二 三 四 五 总分 考试时间：120分钟 考试方式：开卷 任课教师：杨静 日期：2007年4月28日 一、简述题（40分）
1. 试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出两类平面问题中弹性常
数间的转换关系。 2. 弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？ 3. 写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？ 4. 5. 6. 7.
写出弹性力学按应力求解空间问题的相容方程。
求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？
试叙述位移变分方程和最小势能原理，并指出他们与弹性力学基本方程的等价性? 试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程）
?x?C(x2?y2)，?y?Cy2，?xy?2Cxy。
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