发布时间 : 星期五 文章专题六 二次函数综合题 类型一 点问题更新完毕开始阅读e055b52578563c1ec5da50e2524de518974bd34c
专题六 二次函数综合题
考情分析：2017.25；2016年4考；2015年5考．考查背景有：二次函数、二次函数与一次函数结合、二次函数与圆结合．涉及的变换有动点问题、图形平移问题．
类型一 点问题 2
例1 (2017·河南)如图，直线y＝－x＋c与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛
3
4
物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B.
3
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；
(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M，P，N三点为“和谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．
例1题图
备用图
【思路点拨】(1)将A点坐标代入一次函数解析式可得点C，通过一次函数解析式可得点B坐标，将A，B两点坐标代入抛物线解析式即可；(2)∠BPN与∠APM恒相等，则需分两种情况讨论即可；(3)分点P，M，N分别为“共谐点”时分类讨论．
2
解：(1)∵直线y＝－x＋c过A(3，0)，
32
∴将点A代入得－×3＋c＝0，解得c＝2，
3
2
∴直线AB的表达式为y＝－x＋2，
3
∴B(0，2)．
4
∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(0，2)，
3
4??－3×9＋3b＋c＝0，
∴将A，B两点代入有?，
??c＝2.
10??b＝3，解得?
??c＝2.
410
∴y＝－x2＋x＋2；
33
(2)依题可知：M(m，0)，
2410
∵NM⊥x轴交直线y＝－x＋2于点P，交抛物线y＝－x2＋x＋2于点N，
333
4102
∴N(m，－m2＋m＋2)，P(m，－m＋2)．
333
∵△APM相似于△BPN， ①当△APM∽△BPN时， 则∠AMP＝∠BNP＝90°， ∴BN∥x轴，
∴B，N的纵坐标相同，都为2，
410
∴－m2＋m＋2＝2，
33
5
解得：m1＝0，m2＝. 2
∵当m＝0时，P，N与B重合， ∴△BPN不存在，故舍去．
5
∴M(，0)；
2
②当△APM∽△NPB时，则∠BNP＝∠MAP，
如解图，过点B作BH⊥MN于点H，则H(m，2)，
例1题解图
∵∠BNP＝∠MAP，
∴tan∠BNP＝tan∠MAP，
BHOB2∴即＝＝，
NHOA3
m2
∴＝，
4103－m2＋m＋2－233
11
解得：m1＝0(舍去)，m2＝，
8
11
∴M(，0)，
8
511
∴点M的坐标为(，0)或(，0)；
28
11
(3)或－或－1. 24
【解法提示】①当点P为“共谐点”的中点时，则一次函数图象在抛物线与x轴之间，
4102
∵点N(m，－m2＋m＋2)，P(m，－m＋2)，
333
410
－m2＋m＋2332
由“共谐点”的定义得：＝－m＋2，
23
1
解得m1＝，m2＝3(舍去，此时点P，M，N重合)；
2
②点M为“共谐点”的中点时，
则x轴在一次函数图象与抛物线之间， 由“共谐点”的定义得：
4102
（－m2＋m＋2）＋（－m＋2）
333
＝0，
2
解得m1＝－1，m2＝3(舍去，此时点P，M，N重合)； ③当点N为“共谐点”的中点时， 则抛物线在一次函数图象与x轴之间，
2
－m＋23410
由“共谐点”的定义得：＝－m2＋m＋2，
233
1
解得m1＝－，m2＝3(舍去，此时点P，M，N重点)．
411
故当m为或－或－1时，点M，P，N三点成为“共谐点”．
24
【针对练习】 1．(2017·连云港)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的图象经过点A(3，0)，B(4，1)，且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC.
第1题图
(1)求此二次函数的关系式；
(2)判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标； (3)若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．
15
解：(1)二次函数的关系式为y＝x2－x＋3；
22
(2)△ABC为直角三角形．
如解图，过点B作BD⊥x轴于点D， 由(1)知点C坐标为(0，3)， ∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°， 又B(4，1)，∴AD＝BD， ∴∠BAD＝45°，∴∠BAC＝180°－45°－45°＝90°， ∴△ABC为直角三角形，圆心M的坐标为(2，2)；
第1题解图
(3)存在．
如解图，取BC中点M，过点M作ME⊥y轴于点E， ∵M的坐标为(2，2)，
∴MC＝22＋12＝5，OM＝22， ∴∠MOA＝45°， 又∵∠BAD＝45°，
∴OM∥AB，
∴要使抛物线沿射线BA方向平移，且使⊙M1经过原点， 则平移的长度为22－5或22＋5. ∵∠BAD＝45°.
22－54－1022＋54＋10
∴抛物线的顶点向左、向下均平移＝个单位长度或＝
2222
个单位长度．
15151∵y＝x2－x＋3＝(x－)2－. 22228
154－10214－10
∴平移后抛物线的关系式为y＝(x－＋)－－，
22282
1＋10217－4101
即y＝(x－)－，
228154＋10214＋10或y＝(x－＋)－－，
22282
1－10217＋4101
即y＝(x－)－.
228
1＋1021
综上所述，存在一个位置，使⊙M经过原点，此时抛物线的关系式为：y＝(x－)22
17－4101－10217＋4101－或y＝(x－)－. 8228
第2题图
323
2．(2017·山西)如图，抛物线y＝－x2＋x＋33与x轴交于A、B两点(点A在点
93
B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC、BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F.设点P的运动时间为t秒(t>0)．
(1)求直线BC的函数表达式；
(2)①直接写出P，D两点的坐标；(用含t的代数式表示，结果需化简) ②在点P、Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；
(3)试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3解：(1)直线BC的函数表达式为y＝－x＋33；
3
t343283
(2)①P(－3，t)，D(9－2t，－t＋t)；
2293
【解法提示】由(1)可知A(－3，0)，C(0，33)，∴∠CAO＝60°，如解图，过点P作
t3t3
PG⊥x轴于点G，∵AP＝t，∴AG＝，PG＝t，∴P(－3，t)，
2222
又∵BQ＝2t，B(9，0)，∴OQ＝9－2t，∴点D的横坐标为9－2t，将x＝9－2t代入抛
4328343283
物线解析式得y＝－t＋t，∴D(9－2t，－t＋t)．
9393
第2题解图
②如解图，过点P作PH⊥QD于点H， ∵QD⊥x轴，∴四边形PGQH是矩形，
∴HQ＝PG，∵PQ＝PD，PH⊥QD，∴DQ＝2HQ＝2PG， t343283
∵P，D两点的坐标分别为(－3，t)，(9－2t，－t＋t)，
2293
432833∴－t＋t＝2×t，
932
1515
解得t1＝0(舍去)，t2＝，∴当PQ＝PD时，t的值为.
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3113
(3)当t＝3时，F为PD的中点，此时F(，)．
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t3432833
【解法提示】当F为PD中点时，∵P(－3，t)，D(9－2t，－t＋t)，∴点F(3－
22934t，－
23219323219333
t＋t)，∵点F在直线BC上，则－t＋t＝－(3－t)＋33，∴t2－91291234
31136t＋9＝0，解得t＝3，∵0≤t≤4.5，∴t＝3符合条件，此时，F(，)．
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