发布时间 : 星期六 文章[解析]江苏省盐城市南洋中学2015届高三上学期第二次诊断数学试卷 Word版含解析更新完毕开始阅读e0c1425c700abb68a882fb61
①②合起来即为函数g（x）在定义域x∈[﹣2，6]上的解析式，结合两图象交点个数是2 即方程
得出
的解的个数为 2
故答案为：2
点评： 本题考查函数的奇偶性的应用，分段函数，考查转化、计算、分类讨论、函数与方程的思想方法和能力．
14．设m＞3，对于项数为m的有穷数列{an}，令bk为a1，a2，…，ak（k≤m）中最大值，称数列{bn}为{an}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查正整数1，2，…，m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{cn}，则创新数列为等差数列的{cn}的个数为 （m﹣1）!+1 ．
考点： 数列的应用．
专题： 综合题；等差数列与等比数列．
分析： 分类讨论：当d=0时，{em}为常数列，满足条件；数列{cn}是首项为m的任意一个排列，共有
个数列．当d=1时，符合条件的数列{em}只能是1，2，3…m，此时数列{cn}
是1，2，3…m，有1个．d≥2时，{em} 不存在．由此得出结论． 解答： 解：设数列{cn}的创新数列为{em}，因为em为前m个自然数中最大的一个，所以em=m． 若 {em}为等差数列，设公差为d，
*
因为 ek+1≥ek （k=1，2，3…m﹣1），所以 d≥0．且d∈N． 当d=0时，{em}为常数列，满足条件，即为数列 em=m， 此时数列{cn}是首项为m的任意一个排列，共有
个数列；
当d=1时，符合条件的数列{em}只能是1，2，3…m，此时数列{cn}是1，2，3…m，有1个； 当d≥2时，∵em=e1+（m﹣1）d≥e1+2（m﹣1）=e1+m+m﹣2 又 m＞3，∴m﹣2＞0． ∴em＞m 这与 em=m矛盾，所以此时{em} 不存在． 综上满足条件的数列{cn}的个数为（m﹣1）!+1个． 故答案为：（m﹣1）!+1．
点评： 本题主要考查等差关系的确定，等比关系的确定，创新数列的定义，属于中档题．
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．函数
（1）求函数f（x）的最小正周期； （2）若存在
，使不等式f（x0）＜m成立，求实数m的取值范围．
．
考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值． 专题： 计算题．
分析： （1）利用三角函数的恒等变换化简函数函数f（x）的解析式为从而求出它的最小正周期． （2）根据2]，若存在
，可得 ，
，
，f（x0）的值域为[﹣1，
使不等式f（x0）＜m成立，m需大于f（x0）的最小值． 解答： 解：（1）∵=
∴最小正周期T=（2）∵
=π．
，∴
，∴
，
．
∴f（x0）的值域为[﹣1，2]． ∵
，使f（x）＜m成立，∴m＞﹣1，
故实数m的取值范围为（﹣1，+∞）．
点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，三角函数的值域，注意理解“存在
，使不等式f（x0）＜m成立，”的意义，属于中档题．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD于O． （Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）设E为线段PC上一点，若AC⊥BE，求证：PA∥平面BED．
考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： （I）利用线面垂直的性质定理可得PA⊥BD，再利用线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；
（II）利用线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BED，可得AC⊥OE．在同一平面内，PA⊥AC，于是得到OE∥PA，再利用线面平行的判定定理即可证明． 解答： 证明：（I）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD． 又BD⊥AC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．
∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC． （II）∵AC⊥BE，AC⊥BD，BE∩BD=B， ∴AC⊥平面BED． ∴AC⊥OE．
在平面PAC中，PA⊥AC，OE⊥AC， ∴PA∥OE．
而PA?平面BED，OE?平面BED， ∴PA∥平面BED．
点评： 熟练掌握线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的判定定理、在同一平面内垂直与同一条直线的两条直线平行的性质、线面平行的判定定理是解题的关键．
17．给定椭圆C：
+
=1（a＞b＞0），称圆C1：x+y=a+b为椭圆C的“伴随圆”．已知
2
2
2
2
椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）．
（1）请求出椭圆C的标准方程；
（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b=1，=（2）由（1）知，椭圆C的方程为
2
2
2
，由此能求出a，b．
+y=1，圆C1的方程为x+y=5．设直线l的方程为y=kx+m，
由，得（1+4k）x+8kmx+4m﹣4=0．由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到
222
直线的距离，结合知识点能求出m． 解答： 解：（1）记椭圆C的半焦距为c， 由题意，得b=1，=解得a=2，b=1， 故椭圆C的标准方程为：
+y=1．
+y=1，圆C1的方程为x+y=5．
2
2
2
2
，c=a+b，
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（2）由（1）知，椭圆C的方程为
显然直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0． 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
故方程组（*）有且只有一组解．
由（*）得（1+4k）x+8kmx+4m﹣4=0．
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从而△=（8km）﹣4（1+4k）（ 4m﹣4）=0．
22
化简，得m=1+4k．①
22
因为直线l被圆x+y=5所截得的弦长为2， 所以圆心到直线l的距离d=
=
．
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即=． ②
2
2
由①②，解得k=2，m=9． 因为m＞0，所以m=3．
点评： 本题主要考查实数值的求法，考查直线与椭圆、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，属于中档题．
18．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x+2（0≤x≤
2
）的图象，且点M到边OA距离为．
（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；
（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？
考点： 基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 不等式的解法及应用；直线与圆．
分析： （Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x+2（0≤x≤x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程； （Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．
2
解答： 解：（I）∵y=﹣x+2，∴y′=﹣2x，
2
2
）在