发布时间 : 星期四 文章因式分解培优题(超全面、详细分类)资料讲解更新完毕开始阅读e0e4812b1511cc7931b765ce0508763230127415
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五、换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
例题1 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．
例题2 分解因式：(x2?4x?8)2?3x(x2?4x?8)?2x2
例题3 分解因式：(x?1)(x?1)(x?3)(x?5)?9
分析：型如abcd?e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.
例题4 分解因式：(x2?7x?6)(x2?x?6)?56.
例题5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)－90．
例题6 分解因式：4(3x2?x?1)(x2?2x?3)?(4x2?x?4)2
提示:可设3x2?x?1?A,x2?2x?3?B，则4x2?x?4?A?B.
例题7 分解因式：x6?28x3?27
例题8 分解因式：(a?b)4?(a?b)4?(a2?b2)2
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例题9 分解因式：(y?1)4?(y?3)4?272
例题9对应练习 分解因式：a4?44?(a?4)4
例题10 分解因式：(x2+xy+y2)2－4xy(x2+y2)．
分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．
例题11 分解因式：2x4?x3?6x2?x?2
分析：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.
例题11对应练习 分解因式：6x4+7x3－36x2－7x+6． 例题11对应练习 分解因式：x4?4x3?x2?4x?1
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对应练习题 分解因式：
（1）x4+7x3+14x2+7x+1 （2）x?2x?x?1?2(x?x)
（3）2005x?(2005?1)x?2005 （4）(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x
（5） (x?1)(x?3)(x?5)(x?7)?15 （6）(a?1)(a?2)(a?3)(a?4)?24 （7）(2a?5)(a2?9)(2a?7)?91 （8）(x+3)(x2－1)(x+5)－20
（9）(a?1)?(a?5)?4(a?3) （10） (2x2－3x+1)2－22x2+33x－1
2222222224322（11）(a?2b?c)3?(a?b)3?(b?c)3
1（12）xy(xy?1)?(xy?3)?2(x?y?)?(x?y?1)2
2（13）(a?b?2ab)(a?b?2)?(1?ab)2
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六、添项、拆项、配方法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
例题1 分解因式：x3－9x+8．
例题2 分解因式：
(1)x9+x6+x3－3； (2)(m2－1)(n2－1)+4mn； (3)(x+1)4+(x2－1)2+(x－1)4； (4)a3b－ab3+a2+b2+1．
对应练习题 分解因式：
（1）x3?3x2?4 （2）x?2(a?b)x?3a?10ab?3b
（3）x4?7x2?1 （4）x4?x2?2ax?1?a2
444（5）x?y?(x?y) （6）2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4
222（7）x3+3x2－4 （8）x4－11x2y2+y2 （9）x3+9x2+26x+24 （10）x4－12x+323 （11）x4＋x2＋1； （12）x3－11x＋20；
（13）a5＋a＋1 (14)x?y?4x?6y?5
2222 (15)(1?a)(1?b)?4ab
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