发布时间 : 星期六 文章高中数学第7章解析几何初步7.2.2两条直线的位置关系学案湘教版必修3更新完毕开始阅读e0e6379dabea998fcc22bcd126fff705cc175ca8
7．2.2 两条直线的位置关系
[学习目标]
1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
2．理解直线相交、平行、重合、垂直的意义，会利用直线的几何特征判定直线相交、平行、重合、垂直．
3．会由两条直线的法向量来判定两条直线相交、平行、重合、垂直． [预习导引]
1．利用法向量确定两直线的位置关系 (1)两条直线平行或重合?它们的法向量平行． (2)两条直线相交?它们的法向量不平行． (3)两条直线垂直?它们的法向量垂直． 2．两直线的夹角
ππ
两直线的夹角α的大小规定在0≤α≤的范围内，当法向量的夹角满足0≤θ≤时，α
22＝θ；当法向量的夹角θ>3．定理2
设直线l1，l2的方程分别为
π
时，α＝π－θ． 2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 A2＝λA1，??
l1与l2重合?存在实数λ≠0，使?B2＝λB1，
??C2＝λC1；A2＝λA1，??
l1与l2平行?存在实数λ≠0，使?B2＝λB1，
??C2≠λC1；l1与l2相交?A1B2－A2B1≠0； l1与l2垂直?A1A2＋B1B2＝0； l1与l2夹角θ的余弦
cos θ＝|A1A2＋B1B2|
A＋B·A＋B21212222
.
要点一 判断两直线是否相交
例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
???2x－y－7＝0，?x＝3，
解 (1)方程组?的解为?因此直线
??3x＋2y－7＝0y＝－1，??
l1和l2相交，交点坐标为(3，－
1)．
??2x－6y＋4＝0，
(2)方程组?有无数组解，表明直线l1和l2重合．
?4x－12y＋8＝0?
??4x＋2y＋4＝0，
(3)方程组?无解，表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
?2x＋y－3＝0，?
规律方法 方程组有一解，说明两直线相交；方程组没有解说明两直线没有公共点，即两直线平行；方程组有无数个解说明两直线重合．
跟踪演练1 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标．
????5x＋4y－2＝0，
(1)?(2)?11?2x＋y＋2＝0；??y＝x＋.
?
3
2
2x－6y＋3＝0，
?5x＋4y－2＝0，?解 (1)解方程组?得该方程组有唯一解
??2x＋y＋2＝0，
??
?14??y＝3.x＝－，
10
3
1014
所以两直线相交，且交点坐标为(－，)．
33(2)解方程组 2x－6y＋3＝0，??
?11y＝x＋，??32
①
②
②×6得2x－6y＋3＝0，
因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②有无数组解，所以两直线重合． 要点二 判断两条直线的位置关系
例2 判断下列各组直线的位置关系． (1)l1：2x＋y＋1＝0，l2：x－3y－5＝0； (2)l1：x－y＋2＝0，l2：2x－2y＋3＝0； (3)l1：3x－4y－1＝0，l2：6x－8y－2＝0； (4)l1：x－y＋1＝0，l2：x＋y＋3＝0.
21
解 (1)对l1，l2，由≠，知l1与l2相交．
1－31－12
(2)对l1，l2，由＝≠，知l1与l2平行．
2－233－4－1
(3)对l1，l2，由＝＝，知l1与l2重合．
6－8－2
(4)对l1，l2，由A1A2＋B1B2＝1×1＋(－1)×1＝0，知l1⊥l2. 规律方法 利用法向量判断．
跟踪演练2 根据下列条件，判断直线l1与直线l2的位置关系． 1
(1)l1：y＝－3x＋1，l2：x＋y－6＝0；
3
(2)l1：(lg 2)x－y＋5＝0，l2：(log210)x＋y－6＝0；
(3)l1经过点A(1，2 009)，B(1，2 010)，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)． 解 (1)l1的一般式方程为3x＋y－1＝0， 31－1
由＝≠，知l1∥l2. 11－63
(2)对于l1，l2由A1A2＋B1B2＝lg2·log210＋(－1)·1＝0知l1⊥l2. (3)因为l1过点A(1，2 009)，B(1，2 010)， 所以方程为x＝1，与x轴垂直． 因为l2过点P(0，－2)，Q(0，5)， 所以方程为x＝0，即y轴，所以l1∥l2. 要点三 应用位置关系求参数值
例3 已知直线l1：ax－y＋a＋2＝0，l2：ax＋(a－2)y＋1＝0.问当a为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？ 解 若A1，A2，B1，B2全不为0时，
??ax－y＋a＋2＝0
联立方程组?， 2
?ax＋（a－2）y＋1＝0?
2
得＝＝1，＝A1aA2aB1－1C1a＋2
，＝，
B2a2－2C21
A1C1
A2C2
由＝得a＝－1或a＝1，由＝得a＝－1， 所以，当a≠±1时，≠，l1与l2相交； 当a＝1时，＝≠，l1与l2平行； 当a＝－1时，＝＝，l1与l2重合． 若A1，A2，B1，B2中有为0的值时，
??－y＋2＝0
当a＝0时，方程组化为?，这时l1与l2平行；
?－2y＋1＝0?
A1B1
A2B2
A1B1A2B2
A1B1C1A2B2C2
A1B1C1A2B2C2
当a－2＝0即a＝±2时，
2
?2x－y＋2＋2＝0，
方程组化为?
?2x＋1＝0，
?－2x－y＋2－2＝0，或?此时两直线相交． ?－2x＋1＝0，
综上所述，(1)当a≠±1且a≠0时l1与l2相交； (2)当a＝0或a＝1时，l1与l2平行； (3)当a＝－1时，l1与l2重合． 规律方法 两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0；
l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0；
(2)也可利用法向量来直接求解．
跟踪演练3 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线
l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？
解 当m＝0时，则l1：x＋6＝0，l2：2x－3y＝0， ∴l1与l2相交，
当m＝2时，则l1：x＋2y＋6＝0，l2：3y＋4＝0， ∴l1与l2相交．