发布时间 : 星期四 文章2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第9讲 函数模型及其应用更新完毕开始阅读e0f833a948fe04a1b0717fd5360cba1aa8118cab
第9讲 函数模型及其应用
一、知识梳理
1.几种常见的函数模型
函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c为常数, a>0且a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c (a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0) 对数函数模型 幂函数模型 2.三种函数模型性质比较 在(0,+∞) 上的单调性 增长速度 图象的变化 常用结论 y=ax(a>1) 增函数 越来越快 y=logax(a>1) 增函数 越来越慢 y=xn(n>0) 增函数 相对平稳 随n值变化而不同 随x值增大,图象与y随x值增大,图象与x轴接近平行 轴接近平行 a
“对勾”函数f(x)=x+(a>0)的性质
x
(1)该函数在(-∞,-a]和[a,+∞)上单调递增,在[-a,0)和(0,a ]上单调递减.
(2)当x>0时,x=a时取最小值2a; 当x<0时,x=-a时取最大值-2a. 二、教材衍化
1.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如表:
x y 0.50 -0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00 则对x,y最适合的拟合函数是( ) A.y=2x
B.y=x2-1
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C.y=2x-2 D.y=log2x
解析:选D.根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.
2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是( )
A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B.结余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D.前6个月的平均收入为40万元
解析:选D.由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3∶1,故A正确;由题图可知,7月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B正确;由题图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C正确;由题图可知,1
前6个月的平均收入为×(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D错误.
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3.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为______.
24-4x
解析:设隔墙的长度为x(0 23)2+18,所以当x=3时,y最大. 答案:3 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)幂函数增长比一次函数增长更快.( ) (2)在(0,+∞)内,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.( ) (3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ 二、易错纠偏 2 常见误区| (1)忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等; (2)建立函数模型出错. 1.某城市客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100 km,票价是0.5元/km,如果超过100 km,超过100 km的部分按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________. 解析:由题意可得 ?0.5x,0 ?0.4x+10,x>100? 2.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时1 的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业 2一个月应生产该商品数量为________万件. 解析:设利润为L(x),则利润L(x)=20x-C(x)= 1 -(x-18)2+142,当x=18 时,L(x)有最大值. 2答案:18 考点一 用函数图象刻画变化过程(基础型) 复习指导| 能将实际问题转化为数学问题,会应用函数图象对实际问题进行描述. 核心素养:数学建模 1.(2020·广州市综合检测(一))如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是( ) 解析:选B.水位由高变低,排除C,D.半缸前下降速度先快后慢,半缸后下降速度先慢后快,故选B. 2.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙 3 三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( ) A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油 解析:选D.根据图象知消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错;甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油,故选项C错;最高限速80千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D对. 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象. (2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择符合实际情况的答案. 考点二 函数模型的选择(应用型) 复习指导| 会比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 核心素养:数学建模、数学运算 某新型企业为获得更大利润,须不断加大投资,若预计年利润低于10%时,则该 企业就考虑转型,下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据: 年份 投资成本x 2008 3 2009 5 2010 9 2011 17 … … 4